Какие виды чисел используют в математике

Какие числа используют математики в своей работе? Оказывается, гораздо больше, чем мы привыкли в школе! Давайте разберемся, какие виды чисел существуют в математике, зачем они нужны и где применяются. Это поможет нам лучше понять, как устроена математика.

Натуральные и целые числа

Натуральные числа - это числа, которые используются при счете: 1, 2, 3 и так далее. Ноль к натуральным числам не относится. Их обозначают буквой N.

Натуральные числа возникли в глубокой древности из практической потребности людей считать предметы. Считать предметы человек научился еще в доисторические времена.

Понятие числа возникло в глубокой древности из практической потребности людей и усложнялось в процессе развития человечества.

Аксиомы Пеано - это набор утверждений, которые формально определяют понятие натурального числа:

1. 1 является натуральным числом
2. Каждое натуральное число имеет следующее число
3. 1 не является следующим числом ни для какого натурального числа
4. Два натуральных числа, у которых следующие числа равны, равны друг другу
5. Принцип математической индукции: если множество натуральных чисел обладает некоторым свойством, то оно обладает им для всех чисел, если доказано, что: 1) оно выполняется для 1, 2) если свойство выполняется для некоторого числа k, то оно выполняется и для следующего числа k+1

Целые числа включают в себя натуральные числа, нуль и отрицательные целые числа. Они нужны были для того, чтобы можно было вычитать из числа большее число, например: 5 - 7 = -2.

Целые и натуральные числа широко используются в повседневной жизни - при счете предметов, людей, денег, времени и так далее. Вот несколько примеров их применения:

• Подсчет товаров в магазине
• Измерение расстояний, веса, объема, температуры в градусах Цельсия
• Обозначение номеров телефонов, комнат в гостинице, этажей
• Подсчет очков, голов в спортивных соревнованиях
• Обозначение дат, годов

А вот 10 способов, как целые и натуральные числа помогают в повседневных задачах:

1. Посчитать наличные деньги
2. Узнать текущее время и время в пути при планировании маршрута
3. Подсчитать калории в продуктах при составлении диеты
4. Посчитать нужное количество продуктов для приготовления блюда
5. Узнать свой рост, вес, объем талии
6. Посчитать количество страниц в книге
7. Узнать номер автобуса, трамвая, троллейбуса, вагона поезда
8. Подсчитать сдачу в магазине
9. Определить объем зала, комнаты, квартиры
10. Подобрать размер одежды, обуви

Как видно из примеров, натуральные и целые числа незаменимы в обычной жизни для решения самых разных задач.

Рациональные и иррациональные числа

Рациональными называются числа, которые можно записать в виде отношения двух целых чисел. Например: 1/2, 3/5, 25/36. Они включают в себя целые числа.

Основные свойства рациональных чисел:

• Можно представить в виде обыкновенной или десятичной дроби
• Замкнуты относительно сложения, вычитания, умножения и деления
• Упорядочены на числовой прямой

Примеры рациональных чисел: 2, 5/3, 0.25, -4/9, 2.13653.

Иррациональными называются числа, которые нельзя представить в виде отношения целых чисел, то есть обыкновенной или десятичной дроби. Они представляются бесконечными непериодическими дробями.

Например: √2, √3, π.

Вот несколько интересных фактов об иррациональных числах:

1. Существует бесконечное множество иррациональных чисел
2. Вавилонские математики знали про существование иррациональных 1800 году до нашей эры
3. Доказательство существования несоизмеримой с стороной квадрата его диагонали (то есть иррациональности √2) приписывают пифагорейцам
4. В средние века некоторые математики не признавали существование иррациональных чисел и считали работу с ними «извлечением корней из ничего»
5. Иррациональные числа нельзя точно изобразить на числовой прямой, для этого потребовалась бы бесконечно тонкая линия
6. Существуют трансцендентные иррациональные числа (например, π и e), которые не являются корнями никаких многочленов

Таким образом, иррациональные числа, хоть и кажутся странными с точки зрения обыденной логики, играют важнейшую роль в математике наряду с рациональными. Без них невозможно было бы построить полную теорию действительных чисел.

Действительные и комплексные числа

Множество вещественных или действительных чисел состоит из всех рациональных и иррациональных чисел. Оно имеет бесконечную мощность и непрерывно. Действительные числа часто обозначают буквой R.

Основные свойства действительных чисел:

• Образуют упорядоченное поле
• Замкнуты относительно арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления
• Между любыми двумя различными действительными числами существует бесконечно много других действительных чисел (свойство непрерывности)

Для представления в памяти компьютера обычно используют двоичную систему счисления. Чаще всего действительные числа записываются в виде чисел с плавающей запятой.

В виде числа с плавающей запятой действительное число записывается следующим образом:

• Часть битов кодирует мантиссу числа (значащие цифры)
• Другая часть битов кодирует порядок числа (показатель степени основания системы счисления)
• Еще один бит указывает знак числа (положительное или отрицательное)

Такая запись позволяет приближенно представлять в компьютере очень большие и очень малые числа.

Проблема представления действительных чисел в компьютере

Хотя формат с плавающей запятой удобен, у него есть недостаток - точно могут быть представлены далеко не все действительные числа, а лишь некоторое конечное их множество. Поэтому на практике в компьютере мы имеем дело не с математическими действительными числами как таковыми, а лишь с их приближением.

Абсолютная и относительная погрешности

Для оценки точности представления действительных чисел в компьютере используют понятия абсолютной и относительной погрешностей.

Абсолютная погрешность - это абсолютная величина разности между точным и приближенным значениями числа.

Относительная погрешность выражается в процентах как отношение абсолютной погрешности к точному значению.

Комплексные числа

Комплексные числа - это числа вида a + bi, где a - действительная часть, b - мнимая часть, i - мнимая единица (i^2 = -1).

Комплексные числа можно записывать в алгебраической форме, тригонометрической форме и изображать в виде точек на комплексной плоскости.

Комплексные числа находят широкое применение в различных областях математики и ее приложениях - теории уравнений, анализе, функциях комплексного переменного, теории вероятностей, математической физике и других.