Рациональные выражения: свойства, преобразования, применение

Рациональные выражения - неотъемлемая часть школьного курса алгебры. Но что же они из себя представляют на самом деле и зачем их нужно изучать?

1. Понятие рационального выражения

Рациональным выражением называется выражение, состоящее из чисел, переменных, арифметических операций (+, -, *, /) и операции возведения в степень.

Например:

3x + 5
(2y - 1) / 3
(a + b)2

Особенности рационального выражения:

Могут содержать числа и переменные
Могут содержать арифметические операции и возведение в степень
Не могут содержать корни, логарифмы, тригонометрические функции

Рациональное выражение отличается, например, от иррационального наличием корня. Также от тригонометрического - отсутствием тригонометрических функций.

2. Виды и свойства

Рациональные выражения делятся на целые и дробные. Давайте разберемся в их особенностях.

Целые выражения

Целыми называются выражения, состоящие из чисел, переменных и арифметических операций без деления на переменную. Например:

5x + 7
3(a - 2b)

Дробные выражения

Дробные выражения содержат деление на выражение с переменной. Например:

(3x + 5) / (x - 2)
2y / (y2 - 4)

К дробным выражения относятся также рациональные дроби - дроби, у которых и числитель, и знаменатель являются многочленами:

(x2 + 1) / (x - 3)

У дробных выражений есть важное свойство - рациональное значение выражения имеет смысл, только если знаменатель не равен нулю. Это нужно учитывать при вычислениях и решении уравнений.

На этом основные виды и свойства рациональных выражений мы разобрали. Далее перейдем к важной теме - их преобразованиям.

3. Преобразования рациональных выражений

Под преобразованием рационального выражения понимают запись его в эквивалентном, но более простом и удобном для дальнейшей работы виде.

Основные виды преобразований:

Приведение к общему знаменателю
Сокращение дробей
Сложение, вычитание, умножение и деление дробей

Знание основных приемов преобразования рациональных выражений позволяет существенно облегчить работу с ними. А главное - подготовить их для дальнейшего применения.

4. Применение рациональных выражений

На практике рациональные выражения используются:

При решении рациональных уравнений
Для нахождения неизвестного значения в формулах
В текстовых задачах на движение, смеси, сплавы и т.д.

Рассмотрим конкретный пример.

Нужно найти путь автомобиля, если известно, что на первых 20 км пути его средняя скорость составила 60 км/ч, а на оставшейся части пути - 40 км/ч. Вся поездка заняла 1 час.

Запишем это в виде рационального выражения:
где S1 - путь за первые 20 км, S2 - путь за оставшееся время. Решая это выражение, находим искомое значение пути S = 80 км.

Так видно, что умение оперировать рациональными выражениями позволяет решать практические задачи из разных областей.

5. Ошибки при работе с рациональными выражениями

Несмотря на кажущуюся простоту, при работе с рациональными выражениями часто допускаются типичные ошибки. Рассмотрим их подробнее.

Нарушение порядка действий

Например, при вычислении выражения сначала выполняются операции в скобках, затем умножение и деление слева направо, и только после этого сложение и вычитание:

3(x + 2) - 2x / 4 + 7 = сначала 3(3) - 2 · 1 / 4 + 7 = 9 - 0,5 + 7 = 15,5

Деление на нуль

Ошибка возникает, если при нахождении значения дробного выражения знаменатель обращается в нуль. Например:

(x2 - 4) / (x + 2) при x = -2 делится на нуль, что запрещено.

Неправильное сокращение

Иногда после раскрытия скобок или приведения подобных слагаемых ученики ошибочно сокращают выражение. Правильнее сначала привести подобные, а уже потом сокращать!