Что такое оси симметрии: полное руководство для начинающих

Многие люди воспринимают симметрию как нечто само собой разумеющееся, не задумываясь о ее сущности. Однако понимание осей симметрии важно как для практических нужд, так и для осознания гармонии мира. В этой статье мы разберем, что представляют собой оси симметрии, их виды и свойства.

Общее представление об осях симметрии

Ось симметрии - это прямая, которая делит фигуру на две равные части, являющиеся как бы зеркальным отражением друг друга. Если сложить фигуру вдоль оси симметрии, как лист бумаги, то обе половинки совместятся.

Примеры осей симметрии можно увидеть повсюду в окружающем нас мире. Это и бабочки с симметричным рисунком на крыльях, и зеркальные озера и архитектурные сооружения, построенные с учетом осей симметрии для гармоничного восприятия.

Симметрия несет в себе ощущение порядка, завершенности, красоты. Фигуры и объекты с выраженной симметричностью, как правило, приятны глазу и вызывают чувство удовлетворения.

Математическое определение осей симметрии

В математике ось симметрии фигуры определяется так:

Осью симметрии фигуры называется такая прямая, относительно которой фигура симметрична, то есть при симметричном отражении относительно этой прямой совмещается сама с собой.

Это означает, что для любой точки фигуры, лежащей по одну сторону от оси симметрии, найдется точка на другой стороне оси, равноудаленная от нее. Соединяющий их отрезок перпендикулярен к оси симметрии.

Рассмотрим несколько конкретных примеров фигур и их осей симметрии:

• У равностороннего треугольника три оси симметрии - это медианы, проведенные из вершин к серединам противоположных сторон.
• Прямоугольник имеет две оси симметрии - диагонали, соединяющие середины противоположных сторон.
• У окружности бесконечно много осей симметрии - это все диаметры, проходящие через центр.

Итак, мы выяснили что такое ось симметрии фигуры с математической точки зрения. Теперь давайте подробнее разберем симметрию конкретных фигур.

Осевая симметрия различных фигур

Что такое оси симметрии - вопрос не праздный, ведь понимание принципов симметрии важно во многих областях науки и техники. Давайте последовательно разберем осевую симметрию у разных фигур.

Угол и его биссектриса

Любой угол обладает осью симметрии, которая проходит через его вершину. Это биссектриса угла, делящая его пополам. Относительно этой оси угол симметричен.

Треугольник

У равнобедренного треугольника есть одна ось симметрии - медиана (биссектриса, высота), проведенная к основанию.

А вот что такое ось симметрии квадрата? Оказывается, у него целых 4 оси симметрии, проходящие через середины противоположных сторон. Это объясняется тем, что квадрат обладает свойствами как прямоугольника, так и ромба.

Окружность

Уже упоминалась что такое ось симметрии окружности. Это любой ее диаметр, проходящий через центр. Так как диаметров у окружности бесконечное множество, то и осей симметрии тоже бесконечно много.

Итак, мы вкратце разобрали осевую симметрию наиболее распространенных геометрических фигур. В следующем разделе речь пойдет о центральной симметрии.

Если при осевой симметрии фигура отражается относительно линии (оси), то при центральной симметрии - относительно точки, которая называется центром симметрии.

Центральная симметрия окружности

Яркий пример центральной симметрии - это окружность, у которой центром симметрии является ее геометрический центр. Любая точка на окружности имеет симметричную относительно центра точку, лежащую на одинаковом расстоянии с другой стороны.

Симметрия параллелограмма

Еще одним примером фигуры с центральной симметрией является параллелограмм. Его центр симметрии - точка пересечения диагоналей.

Осевая симметрия параболы

Рассмотрим теперь такой интересный вопрос: что такое ось симметрии параболы? В отличие от многих других кривых, у параболы только одна ось симметрии. Это прямая, проходящая через вершину параболы параллельно ее директрисе.

Доказательство симметрии параболы

Докажем, что эта прямая и впрямь является осью симметрии параболы. Рассмотрим произвольную точку кривой A и проведем через нее прямую перпендикулярную оси симметрии. Эта прямая пересечет ось в некоторой точке O. Затем отложим от точки O на перпендикуляре отрезок OA' равный отрезку OA. Получим точку A', симметричную точке A относительно прямой. Покажем, что точка A' тоже лежит на параболе...

Доказательство принадлежности точки A' параболе

Итак, мы построили точку A', симметричную произвольной точке параболы A. Теперь докажем, что A' тоже лежит на этой параболе.

Поскольку A принадлежит параболе, расстояние OA равно расстоянию от A до директрисы. Но в силу симметричности точек A и A' относительно прямой OO':

• Расстояние OA' равно расстоянию OA
• Точка A' находится на одинаковом расстоянии от директрисы, что и точка A

Следовательно, расстояние от точки A' до директрисы тоже равно OA'. Из определения параболы тогда следует, что и точка A' лежит на данной параболе.

Так мы доказали, что любая точка параболы A имеет зеркально симметричную точку A', принадлежащую той же параболе. Следовательно, прямая OO' является осью симметрии параболы.

Понимание осевой симметрии параболы важно для многих областей науки и техники. Рассмотрим несколько примеров.

Отражающие параболические антенны

В радиотехнике параболические антенны используют свойства параболы для фокусировки и отражения радиоволн. Зеркало такой антенны имеет форму параболоида вращения, построенного вращением параболы вокруг ее оси симметрии.

Движение тел, брошенных под углом

Если тело бросят под углом к горизонту, не придавая начальной скорости, то траектория его полета описывается уравнением параболы. Здесь опять проявляется осевая симметрия относительно вертикальной оси.

Помимо этого, свойства параболы используются в оптике, строительстве мостов, архитектуре. Везде важно учитывать ее ось симметрии...