Пределы функций с корнями: практические примеры решений и ответы

Пределы функций - фундаментальная тема математического анализа. Однако студенты часто испытывают затруднения при вычислении пределов функций, содержащих корни. Данная статья посвящена подробному разбору методов решения таких пределов с практическими примерами.

Основные типы пределов с корнями

Существует несколько разновидностей пределов функций, содержащих корень:

Пределы вида (f(x))^(1/n) при x→a
Пределы, приводящие к неопределенностям 0/0 или ∞/∞
Пределы с неопределенностью вида ∞-∞

Рассмотрим подробнее каждый из этих случаев.

Пределы вида (f(x))^(1/n) при x→a

Для вычисления таких пределов удобно применить теорему о пределе сложной функции. Например, найдем предел:

Пример: lim (x^2+2x)^(1/3) при x→1
Решение: Представим подпредельную функцию как сложную: (x^2+2x)^(1/3) = ((g(x))^(1/3)), где g(x) = x^2+2x.
Тогда по теореме о пределе сложной функции:
lim (x^2+2x)^(1/3) при x→1 = ((g(1))^(1/3) = (1+2)^(1/3) = 3^(1/3) = 1

Неопределенности 0/0 и ∞/∞

При подстановке предельного значения аргумента в функцию может возникнуть неопределенность вида 0/0 или ∞/∞. Это означает, что и числитель и знаменатель обращаются в ноль или бесконечность.

Например, при вычислении предела lim (x^2-x-2)/(x-2) при x→2 в числителе и знаменателе получается ноль. А в пределе lim (2x^2+3x)/x при x→∞ и числитель и знаменатель стремятся к бесконечности.

Для раскрытия таких неопределенностей используются специальные приемы, которые мы подробно разберем далее.

Неопределенность ∞-∞

Еще один распространенный случай - когда в пределе возникает выражение вида ∞-∞. Например:

Пример: lim (2x^2-3x^3)/(x-1) при x→∞
Здесь при делении на x в числителе остается ∞, а в знаменателе тоже ∞. То есть имеем ∞-∞.

Такие пределы также требуют применения специальных методов, о которых речь пойдет ниже.

Методы решения пределов с корнями

Рассмотрим основные методы, используемые при вычислении пределов функций, содержащих корни:

Устранение корней с помощью подстановки
Разложение многочленов по формуле (a-b)(a+b)
Линеаризация бесконечно малых функций
Выделение наименьшей степени при x→∞

Подробно разберем каждый метод.

1. Устранение корней подстановкой

Иногда корень можно устранить, заменив переменную подходящей подстановкой. Например:

Пример: lim (4-√x^2)^(1/3) при x→2
Решение: Заменим √x^2 на |x|. Тогда функция запишется как:
(4-|x|)^(1/3)
При x→2, |x| = 2. Подставляя в исходную функцию, получаем:
lim (4-2)^(1/3) = 2^(1/3) = 1

Таким образом, благодаря подстановке нам удалось избавиться от корня и вычислить предел.

2. Разложение многочленов с корнями

Если в числителе или знаменателе дроби стоит разность выражений, содержащих корень, ее можно разложить по формуле:

(a-b)(a+b) = a^2-b^2

Это позволит упростить функцию и вычислить предел. Например:

Пример: lim (√x-1 - √x+1)/(√x-1 + √x+1) при x→9
Решение: Применим формулу к числителю дроби:
(√x-1 - √x+1)(√x-1 + √x+1) = (x-1) - (x+1) = -2
Тогда предел приобретает вид:
lim (-2)/(√x-1 + √x+1) при x→9 =

Как видно из примера, благодаря разложению многочлена с корнем по формуле разности квадратов нам удалось значительно упростить функцию в пределе и найти его значение.

3. Линеаризация бесконечно малых функций

Линеаризация заключается в представлении бесконечно малых функций, содержащих корни, через бесконечно малые линейные функции. Это позволяет раскрыть неопределенности 0/0 или ∞/∞.

Например, с помощью линеаризации можно найти предел:

Пример: lim (√(x^2+2x+1) - (x+1))/(√x + 1) при x→∞
Решение: Подставив предельное значение x = ∞, получаем 0/0. Применим линеаризацию для числителя и знаменателя:
√(x^2+2x+1) - (x+1) ~ (x + 1) - (x + 1) = 0
√x + 1 ~ x + 1
Отсюда предел равен 0.

Используя данный метод, можно найти предел довольно сложных функций, содержащих корни.

4. Выделение наименьшей степени при x→∞

Еще один полезный прием при вычислении пределов функций с корнями - выделение наименьшей степени при стремлении аргумента к бесконечности. Рассмотрим на примере:

Пример: lim (x^3√(x^2+5) - 2x^2√(x^2+7))/(3x√(x^2+5)-4√(x^2+7)) при x→∞
Решение: При делении на x получаем неопределенность ∞/∞. Чтобы ее раскрыть, сравним степени числителя и знаменателя:

В числителе старшая степень - x^3

В знаменателе старшая степень - x

Значит, выделяем x из числителя и знаменателя:
lim (x^2√(1 + (5/x^2)) - 2√(1 + (7/x^2)))/(3√(1 + (5/x^2)) - 4/x√(1 + (7/x^2)))

Далее вычисляем предел, подставляя x = ∞. В результате находим ответ: -2.

Примеры решения простых пределов с корнями

Рассмотрим несколько примеров с использованием описанных выше методов для решения относительно простых пределов функций, содержащих корни.

Пример 1. Устранение корня подстановкой

Найти предел: lim(2√x+5 - 3)/(√x + 4) при x→9
Решение: В знаменателе заменим √x на √(x+1)-1. Тогда предел примет вид:
lim (2(√(x+1)-1)+5 - 3)/(√(x+1)-1 + 4) при x→9
При x = 9, √(x+1) = 4. Подставляя, находим значение предела: 1.

Пример 2. Применение теоремы о пределе сложной функции

Найти предел: lim(2x-5x^2)^(1/3) при x→(-2)
Решение: Используем теорему о пределе сложной функции:
lim(2x-5x^2)^(1/3) при x→(-2) = ((g(-2))^(1/3), где g(x)=2x-5x^2
Подставляя x = -2, получаем: ((g(-2))^(1/3) = ((-4+20))^(1/3) = 16^(1/3) = 2

Далее рассмотрим более сложные примеры вычисления пределов функций с корнями.

Примеры решения сложных пределов с корнями

Пример 1. Последовательное применение методов

Найти предел: lim((x+2√x+1)^2 - (2x+√x)^2)/(√x+1 - x) при x→∞
Решение:

Разложим выражения с корнями в числителе и знаменателе по формуле (a+b)(a-b):
(x+2√x+1)^2 = (x+(√x+1))^2
(2x+√x)^2 = (x+√x)^2

Copy code
Раскроем скобки в полученных разностях квадратов

Применим метод выделения наименьшей степени при x→∞

В результате предел будет равен 4.

Пример 2. Решение неопределенности ∞-∞

Найти предел: lim(√(x^4+3x)-x^2)/(√(x^4+5x)+3x) при x→ ∞
Решение: При делении функции на x получаем ∞-∞. Применим линеаризацию:
√(x^4+3x)-x^2 ~ x^2 - x^2 = 0 √(x^4+5x)+3x ~ x^2+3x
Предел равен 0.

Пример 3. Раскрытие неопределенности ∞/∞

Найти предел: lim(√(x^6+4x^3)-x^3)/(5√(x^6+4x^3)+2x^2) при x→∞
Решение: Имеем неопределенность ∞/∞. Выделяем наименьшую степень:
lim(√(1+(4/x^3))-1/x^3)/(5√(1+(4/x^3))+2/x^4) при x→∞
Предел равен -1/5.