Графики синуса и косинуса: свойства, формулы, применение в тригонометрии

Тригонометрические функции синус и косинус широко используются в математике, физике, инженерных расчетах. Их графики имеют характерную волнообразную форму. Давайте разберемся в их удивительных свойствах и применении на практике.

Определение синуса и косинуса

Синус и косинус изначально возникли при изучении свойств прямоугольных треугольников. Синус угла α определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы, а косинус - как отношение прилежащего катета к гипотенузе.

sin α = BC⁄AC
cos α = AB⁄AC

Позже тригонометрические функции стали определяться через длину дуги окружности:

• sin α = |BD|⁄|AC|
• cos α = |AB|⁄|AC|

где α - центральный угол дуги BD, AC - радиус.

В настоящее время синус и косинус определяются как элементарные функции на множестве действительных и комплексных чисел:

sin z = (eiz - e-iz)⁄2i cos z = (eiz + e-iz)⁄2

Они также выражаются через гиперболические функции:

sin x = -i sinh(ix) cos x = cosh(ix)

Основные свойства синуса и косинуса

Рассмотрим более подробно свойства этих удивительных функций.

Область определения синуса и косинуса - все действительные числа:

D(sin x) = D(cos x) = (-∞; +∞)

Область значений ограничена и лежит в пределах от -1 до 1:

E(sin x) = E(cos x) = [-1; 1]

Это связано с геометрическим смыслом синуса и косинуса как отношения длин сторон треугольника.

Функция синус нечетная, а функция косинус четная:

sin(-x) = -sin(x) cos(-x) = cos(x)

Поэтому их графики симметричны относительно начала координат и оси OY соответственно.

Синус и косинус - периодические функции с периодом 2π:

sin(x + 2π) = sin(x) cos(x + 2π) = cos(x)

Это объясняется тем, что при повороте на угол 2π точка повторяет то же самое положение на окружности.

Точки экстремумов:

• Максимум sin x = 1 достигается при x = πk, где k - целое число
• Минимум sin x = -1 достигается при x = π(k + 1)
• Максимум cos x = 1 достигается при x = 2πk
• Минимум cos x = -1 достигается при x = π + 2πk

Нули функций:

sin x = 0 при x = πk cos x = 0 при x = π/2 + πk

Точки пересечения с осями координат:

• sin x пересекает ось OX в точке (0, 0)
• cos x пересекает ось OY в точке (0, 1)

Синус и косинус удовлетворяют множеству тригонометрических тождеств, важнейшими из которых являются:

sin2x + cos2x = 1 sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y

график синуса и косинуса имеет волнообразную форму и широко используется в математике и физике.

Синус и косинус также выражаются через функции экспоненты и комплексные числа:

sin z = (eiz - e-iz)⁄2i cos z = (eiz + e-iz)⁄2

Эти формулы получены благодаря замечательной формуле Эйлера:

eiz = cos z + i sin z

Производные и интегралы

Синус и косинус дифференцируются следующим образом:

sin' x = cos x cos' x = -sin x

А интегрируются так:

∫ sin x dx = -cos x + C ∫ cos x dx = sin x + C

Разложение в ряды

Синус и косинус представимы в виде рядов Фурье:

sin x = ∑n=1∞ (((-1)n-1x2n-1)⁄(2n-1)!) cos x = ∑n=0∞ (((-1)nx2n)⁄(2n)!)

Графики функций синус и косинус

График синуса имеет характерную "волнообразную" форму. Рассмотрим его более подробно.

В силу нечетности синуса, его график симметричен относительно начала координат. А благодаря периодичности с периодом 2π, участки графика повторяются.

На графике можно выделить амплитуду A - наибольшее отклонение от оси абсцисс, фазу φ - сдвиг графика по оси абсцисс, частоту f = 1/T, где T - период колебаний.

sin x = A sin(2πft + φ)

График косинуса можно получить сдвигом графика синуса вдоль оси абсцисс на π/2.

Применение синуса и косинуса

Благодаря своим удивительным свойствам графики синуса и косинуса широко применяются для описания гармонических колебаний и волн.

С их помощью моделируются механические, электрические, электромагнитные и другие колебательные процессы. Например, закон движения маятника, напряжение в цепи переменного тока, электромагнитные волны.

Связь синуса и косинуса с другими тригонометрическими функциями

Помимо синуса и косинуса, в тригонометрии рассматриваются также функции тангенс и котангенс:

tg x = sin x⁄cos x ctg x = cos x⁄sin x

Их графики тоже имеют интересные особенности. Например, функция тангенс не ограничена и имеет разрывы.

Все тригонометрические функции тесно взаимосвязаны друг с другом. Например, синус и косинус можно выразить через тангенс:

sin x = tg x⁄√(tg2x + 1) cos x = 1⁄√(tg2x + 1)

А график синус косинус тангенс демонстрирует их взаимное расположение.