Вписанный в окружность четырехугольник: теорема о прямоугольнике

Четырехугольник, вписанный в окружность, издавна интриговал ученых своей загадочной природой. Где скрыта таинственная связь между прямыми линиями и идеальной кривой? Ответ кроется в удивительных свойствах одной из самых простых фигур - прямоугольника.

Определение вписанного четырехугольника

Вписанным в окружность называют четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Эту окружность принято называть описанной . Как правило, подразумевают, что четырехугольник выпуклый, хотя существуют и самопересекающиеся вписанные четырехугольники.

На рисунке изображен пример вписанного четырехугольника ABCD. Все точки A, B, C и D лежат на окружности:

Интересной особенностью вписанного четырехугольника является наличие хотя бы одной пары противоположных углов, сумма которых равна 180°. Это важное условие позволяет сформулировать теорему о вписании.

Условия вписания четырехугольника в окружность

Основополагающая теорема гласит:

Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180°.

На рисунке углы α и β являются противоположными, их сумма равна 180°:

Это утверждение справедливо для любого вписанного четырехугольника. Доказательство опирается на тот факт, что вписанный угол вдвое меньше центрального. Подробный вывод приведен в разделе "Доказательство теорем о вписанном прямоугольнике".

Из теоремы следует, что в окружность можно вписать далеко не все четырехугольники. Условие выполняется, например, для квадрата и равносторонней трапеции. Однако произвольный параллелограмм или треугольник в окружность вписать нельзя.

Случаи частных четырехугольников

• Прямоугольник. Вписанный прямоугольник обязательно является квадратом. Это следует из равенства противоположных углов по 90°.

• Параллелограмм. В общий случай параллелограмм в окружность вписать нельзя. Исключение составляет ONLY квадрат как частный вид параллелограмма.

• Трапеция. Вписанная трапеция всегда равнобокая. У нее одна пара углов равна по величине.

Таким образом, возможность вписания зависит от конкретного вида четырехугольника. Рассмотрим более подробно свойства вписанного прямоугольника.

Особенности вписанного прямоугольника

Вписанный прямоугольник соответствует особому случаю - квадрату. Это можно легко доказать, воспользовавшись теоремой о сумме углов.

В квадрате все углы равны 90°. Следовательно, выполнено соотношение:

Значит, в окружность можно вписать только квадратную разновидность прямоугольника.

Радиус описанной окружности

Центр описанной вокруг квадрата окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей. Сами диагонали в квадрате равны, значит, радиус R определяется по формуле:

где а - длина стороны квадрата.

Для прямоугольника с неравными сторонами аналогичный расчет неприменим. В общем случае определить радиус вписанной окружности невозможно.

Вписывание произвольного прямоугольника в окружность

Возникает резонный вопрос - а можно ли вписать в окружность любой прямоугольник, не обязательно квадрат? К сожалению, ответ отрицательный.

В любой прямоугольник вписать окружность невозможно. Это объясняется разницей длин сторон:

• В квадрате все 4 стороны равны.
• В прямоугольнике есть 2 пары неравных сторон.

Но даже не квадратный прямоугольник можно вписать в окружность с натяжкой. Вершины будут лишь "касаться" окружности, не лежа на ней точно.

Тем не менее, описать окружность вокруг любого прямоугольника можно. Достаточно построить ее по 4 угловым точкам. Центр при этом сместится от диагонали внутрь фигуры.

Частный случай - квадрат

Рассмотрим ситуацию со вписыванием квадрата в окружность. Мы уже выяснили, что в данном случае это возможно и доказуемо. Но есть один нюанс:

• Квадрат можно вписать в окружность строго заданного радиуса R.
• При произвольном радиусе точное вписывание невозможно.

Например, в окружность радиусом 5 см впишется квадрат со стороной 10 см. А вот в окружность радиусом 7 см такой квадрат уже не вписать. Получится промежуточный вариант - когда вершины "касаются" окружности.

Таким образом, при решении задач нужно учитывать соотношение размеров окружности и четырехугольника.

Формулы для сторон вписанного прямоугольника

Рассмотрим более строго вопрос о том, какой прямоугольник можно вписать в окружность. Для этого выведем формулы, связывающие стороны прямоугольника и радиус окружности.

Пусть ABCD - произвольный прямоугольник, R - радиус описанной окружности. Тогда, используя теорему Пифагора для треугольника AOC, получим:

Здесь AC и BD - стороны прямоугольника, AO и CO - радиусы описанной окружности. Преобразуем это выражение:

• R² = (AC/2)² + (BD/2)²
• R = √((AC² + BD²)/4)

Из приведенной формулы видно, что радиус описанной окружности зависит от соотношения сторон прямоугольника. Лишь в частном случае, когда AC = BD, получаем ситуацию вписанного квадрата.

Доказательство теорем о вписанном прямоугольнике

Пора перейти к строгим математическим доказательствам утверждений о вписанном прямоугольнике. Воспользуемся геометрическими построениями и логическими рассуждениями.

1. Докажем, что вписанный прямоугольник всегда является квадратом.

2. Докажем формулу для радиуса описанной окружности через сторону квадрата.

3. Докажем равенство диагоналей вписанного прямоугольника.

Помимо чисто геометрических выводов, изложенные положения о вписанном прямоугольнике имеют и вполне практическое применение.

Например, при решении различных инженерных задач.

Открытые вопросы и направления исследований

Несмотря на кажущуюся простоту теорем о вписанном прямоугольнике, в этой области остается еще множество открытых вопросов. Рассмотрим лишь некоторые из них:

• Возможность вписывания в окружность произвольных многоугольников
• Обобщение теорем на пространственные фигуры