Многочлен это: раскрываем сущность понятия

Многочлены - одна из фундаментальных концепций алгебры. Понимание природы многочленов поможет глубже разобраться в математике и ее прикладных областях. Давайте разберемся, что представляет собой многочлен, какие существуют разновидности многочленов и как их можно применять на практике.

1. Основные понятия о многочленах

Чтобы разобраться в сущности многочленов, необходимо четко определить несколько базовых понятий.

Многочлен - это сумма одночленов. Одночлен также считается частным случаем многочлена.

Например:

• 5x + 3
• 2x²y - 7
• x³ - 4xy + 1

Составляющие многочлен одночлены называются членами многочлена. В приведенных выше примерах:

• Члены многочлена 5x + 3: 5x, 3
• Члены многочлена 2x²y - 7: 2x²y, -7
• Члены многочлена x³ - 4xy + 1: x³, -4xy, 1

Особый член многочлена без буквенной части называется свободным членом. Например, в многочлене 5x + 3 свободный член равен 3.

Для удобства работы с многочленами используется понятие стандартного вида многочлена. Это такой многочлен, в котором:

• Каждый член является одночленом стандартного вида
• Нет подобных членов

Например, многочлен 5x2 + 3x - 7 записан в стандартном виде.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно сложить подобные члены и записать каждый одночлен в стандартном виде.

Степень многочлена стандартного вида определяется как наибольшая степень входящих в него одночленов.

Например, степень многочлена 5x3 - 2x + 4 равна 3, поскольку наибольшая степень одночлена 5x³ среди всех членов многочлена.

А коэффициенты членов многочлена — это коэффициенты составляющих его одночленов стандартного вида. В нашем примере коэффициенты членов: 5, -2, 4.

Запомнить основные определения поможет такое правило:

1. Многочлен - сумма одночленов
2. Члены многочлена — составляющие одночлены
3. Есть свободный член без букв
4. Нужно приводить к стандартному виду
5. Определяется степень и коэффициенты членов

2. Классификация и виды многочленов

Многочлены принято классифицировать по количеству входящих в их состав одночленов-членов. Это позволяет выделять различные виды многочленов.

Многочлен, состоящий из одного одночлена, называют мономом. Пример монома: 3x.

Многочлен из двух одночленов называют двучленом или биномом. Пример двучлена: 2x + 5.

Многочлен из трех одночленов — это трехчлен или трином. Пример трехчлена: x² - 3x + 1.

Если в составе многочлена больше трех членов, то это просто многочлен без специального названия.

Линейный двучлен

Особый вид двучлена с одной переменной x записывают в виде ax + b, где a и b — некоторые числа. Такой двучлен называют линейным двучленом.

Например, двучлены 5x + 7 и 2x - 4 являются линейными двучленами.

Квадратный трехчлен

Другой распространенный вид многочлена — квадратный трехчлен с одной переменной x, имеющий вид ax² + bx + c, где a, b и c — некоторые числа.

К примеру, трехчлены 2x² - 5x + 3 и x² - 2 являются квадратными.

3. Коэффициенты многочлена

Коэффициенты членов многочлена играют важную роль при работе с многочленами. Давайте подробнее разберемся с этим понятием.

Коэффициент члена многочлена — это коэффициент соответствующего одночлена стандартного вида. Например, в многочлене:

5x3 - 2x + 7

коэффициентами являются числа 5, -2 и 7.

Обозначение: коэффициент при x³ равен 5 и записывается как C3 = 5 и т.д.

Знание коэффициентов нужно при выполнении различных операций с многочленами, таких как:

• Сложение и вычитание
• Умножение
• Деление
• Разложение на множители