Действия с десятичными дробями: правила, примеры и не только

Десятичные дроби - неотъемлемая часть школьной программы по математике. Многие испытывают трудности при выполнении действий над ними. В этой статье подробно разбираются правила выполнения основных арифметических действий над десятичными дробями. Рассматриваются правила сложения, вычитания, умножения и деления десятичных дробей с подробным разбором примеров на каждое действие. Кроме того, приводятся готовые таблицы с решенными задачами, упражнения для самостоятельной тренировки и советы по предотвращению типичных ошибок. Все это поможет легко освоить действия с десятичными дробями и надолго закрепить полученные навыки.

Что такое десятичная дробь и ее свойства

В действиях с десятичными дробями правила выполняются по определенным алгоритмам. Но сначала давайте разберемся, что представляет собой десятичная дробь.

Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является 10 в какой-либо степени. Например:

• 10 в первой степени - 0,8
• 10 во второй степени - 0,13
• 10 в третьей степени - 0,049

Основные виды десятичных дробей:

1. Конечные - имеют конечное количество цифр после запятой
2. Бесконечные - содержат бесконечное количество цифр после запятой
3. Периодические - последовательность цифр после запятой повторяется

Свойства десятичных дробей:

1. Дописывание нулей в конце дроби не меняет ее значения
2. Удаление нулей с конца не меняет значения дроби
3. При переносе запятой вправо дробь увеличивается в 10, 100 и т.д. раз
4. При переносе запятой влево дробь уменьшается в 10, 100 и т.д. раз

Эти свойства позволяют быстро выполнять умножение и деление на степени числа 10.

Представление обыкновенной дроби в виде десятичной

Действия с обыкновенными и десятичными дробями -правила перевода:

1. Умножаем числитель и знаменатель обыкновенной дроби на одно и то же число так, чтобы знаменатель стал равен степени 10
2. Записываем в виде десятичной дроби с запятой

Рассмотрим на примере дроби ¹/₅:

1. Умножаем числитель и знаменатель на 5: ¹/₅ = ⁵/₂₅
2. Знаменатель теперь равен 10², поэтому записываем как 0,2

Получили десятичную дробь: 0,2

Еще один пример с дробью ³/₈:

1. ³/₈ = ²⁴/₆₄ (умножили на 8)
2. Записываем как десятичную: 0,375

Основные типичные ошибки:

• Неправильный выбор числа, на которое умножают дробь
• Неверное положение запятой в десятичной дроби

Для закрепления решите следующие упражнения:

1. Переведите дробь ²/₃ в десятичную
2. Представьте в виде десятичной дробь ¹/₁₂
3. Запишите дробь ⁵/₂₀ как десятичную

Сравнение десятичных дробей

Чтобы определить, какая из двух десятичных дробей больше, можно использовать два способа:

1. Поразрядное сравнение
2. Сравнение с помощью умножения на число

Рассмотрим подробнее каждый способ.

Поразрядное сравнение

Выполняется по следующему алгоритму:

1. Записываем дроби друг под другом, чтобы одноименные разряды стояли столбиком
2. Начинаем сравнивать слева направо: целую часть с целой, десятые доли с десятыми и т.д.
3. Как только обнаруживается разница в каком-то разряде, можно определить, какая дробь больше

Например, у нас есть дроби:

Целая часть одинакова, десятые доли тоже. А вот тысячные различаются: 5 и 0. Так как 5 > 0, то первая дробь больше второй.

Сравнение с помощью умножения

Этот способ заключается в следующем:

1. Находим дробь с наибольшим количеством знаков после запятой
2. Умножаем обе дроби на 10 в такой степени, чтобы получились целые числа
3. Сравниваем полученные целые числа

Рассмотрим на тех же дробях 5,365 и 5,360. Больше знаков после запятой у первой дроби - три. Значит, надо умножить на 1000, чтобы получились целые:

5,365 * 1000 = 5365

5,360 * 1000 = 5360

Теперь видно, что 5365 > 5360. Соответственно, первая десятичная дробь больше.

Таким образом, оба способа дали одинаковый результат.

Для закрепления попробуйте сравнить следующие пары дробей:

1. 2,357 и 2,35
2. 0,3125 и 0,312
3. 12,042 и 12,0421

Правила сложения десятичных дробей

При сложении десятичных дробей необходимо придерживаться следующих правил:

1. Записать слагаемые столбиком, чтобы одноименные разряды были друг под другом
2. Поставить запятую в сумме точно под запятыми слагаемых
3. Если слагаемые имеют разное количество знаков после запятой, дополнить меньшую дробь нулями
4. Складывать числа по разрядам, перенося единицу в следующий разряд, если сумма больше 9

Рассмотрим на примере:

0,45 + 2,163 = ?

Выравниваем дроби по количеству знаков после запятой:

0,450 + 2,163

Ставим запятую в сумме на том же месте и складываем:

Ответ: 2,613

Теперь попробуйте сложить:

1. 3,21 + 0,85
2. 10,304 + 20,403
3. 45,32 + 23,65

Правила вычитания десятичных дробей

При вычитании десятичных дробей действуют следующие правила:

1. Записать уменьшаемое и вычитаемое столбиком, чтобы разряды совпадали
2. Поставить в разности запятую на том же месте
3. Выравнивать дроби дополнительными нулями, если разное количество знаков после запятой
4. Вычитать по разрядам, заимствуя десяток из следующего разряда

Покажем на примере:

5,724 - 1,83 = ?

Дополняем второе число нулями до одинакового количества знаков после запятой:

5,724 - 1,830

Ответ: 3,894

Теперь ваша очередь, вычтите:

1. 12,71 - 6,335
2. 100,218 - 90,097
3. 28,103 - 19,68

Правила умножения десятичных дробей

При умножении десятичных дробей используют такие правила:

1. Записать множители столбиком, выравнивая по правому краю для удобства
2. Расположить первый множитель над вторым так, чтобы количество цифр было больше сверху
3. Записывать произведение каждой цифры первого множителя на каждую цифру второго
4. Складывать получившиеся числа по разрядам
5. Поставить запятую в результате, отсчитав столько знаков после запятой, сколько их в обоих множителях

Покажем на примере:

0,54 * 0,3 = ?

Выравниваем, ставим большее число сверху:

Перемножаем по разрядам и складываем:

0,54
0,3 ---- 0,016 0,162 ------ 0,162

Ставим запятую на 2 знака после запятой, так как в обоих множителях по 2 знака после запятой:

Ответ: 0,16

Теперь ваша очередь перемножить:

1. 1,25 * 0,4
2. 0,835 * 12,5
3. 4,38 * 0,015

Правила деления десятичной дроби

При делении десятичных дробей используются следующие правила:

1. Записать делимое и делитель столбиком

Деление десятичной дроби на натуральное число

Когда в качестве делителя выступает натуральное число, применяют такой алгоритм:

1. Если целая часть делимого меньше делителя, писать 0 целых

1. Записать первую цифру частного напротив первой цифры делимого
2. Умножить это число на делитель и записать результат под делимым
3. Вычесть полученное произведение из делимого
4. К остатку дописать следующую цифру делимого
5. Повторять пункты 2-4, пока не будут записаны все цифры частного

Рассмотрим на примере:

12,6 : 3 = ?

Ответ: 4,2

Теперь разделите:

1. 16,8 : 4
2. 30,42 : 6
3. 0,245 : 5

Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000

Если делитель представляет собой степень числа 10, то деление выполняется переносом запятой:

1. Запятая переносится на 1 знак влево при делении на 10
2. На 2 знака влево при делении на 100
3. На 3 знака влево при делении на 1000

Примеры:

524,6 : 10 = 52,46

835,71 : 100 = 8,3571

0,512 : 1000 = 0,000512

Деление десятичных дробей друг на друга

При делении десятичной дроби на другую десятичную дробь применяются следующие правила:

1. Найти дробь с наибольшим количеством знаков после запятой
2. Умножить делимое и делитель на 10, 100, 1000 и т.д. так, чтобы в делителе получилось целое число
3. Выполнить деление как на целое число
4. Поставить запятую в частном после столько знаков, сколько осталось неиспользованных в делимом

Рассмотрим на примере:

2,4 : 0,02 = ?

В делителе 2 знака после запятой, поэтому умножаем на 100:

240 : 2

Делим как на целое:

Ставим запятую после первой цифры частного, так как в делимом после умножения на 100 осталось 2 неиспользованных знака:

Ответ: 120,0

Теперь ваша очередь поделить:

1. 1,25 : 0,05
2. 0,216 : 0,008

Готовые таблицы для действий с десятичными дробями

Чтобы ускорить выполнение операций над десятичными дробями, можно воспользоваться готовыми таблицами со множеством примеров для каждого действия.

Таблица сложения

Таблица вычитания

Таблица умножения

Таблица деления

Используя такие таблицы, можно быстро натренировать навыки действий с десятичными дробями.

Теперь вы знаете, что

действиях с десятичными дробями правила выполняются по определенным алгоритмам. Но сначала давайте разберемся, что представляет собой десятичная дробь.

Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является 10 в какой-либо степени. Например:

• 10 в первой степени - 0,8
• 10 во второй степени - 0,13
• 10 в третьей степени - 0,049

Основные виды десятичных дробей:

1. Конечные - имеют конечное количество цифр после запятой
2. Бесконечные - содержат бесконечное количество цифр после запятой
3. Периодические - последовательность цифр после запятой повторяется.