Как найти корень квадратного уравнения, если дискриминант равен нулю

Квадратные уравнения часто встречаются как в школьной программе, так и в реальных задачах. Умение быстро их решать пригодится каждому. В этой статье мы расскажем, как легко справиться с уравнением, у которого дискриминант равен нулю, то есть которое имеет один корень.

Что означает "дискриминант равен нулю"

Дискриминант - это часть формулы для нахождения корней квадратного уравнения. Он обозначается буквой D и вычисляется по формуле:

D = b² - 4ac

Где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения вида:

ax² + bx + c = 0

От значения дискриминанта D зависит количество корней уравнения:

• Если D > 0, то корней два
• Если D = 0, то корень один
• Если D < 0, то корней нет

Поэтому, если в уравнении дискриминант равен нулю (D = 0), то такое уравнение имеет ровно один корень.

Например, рассмотрим квадратное уравнение:

x² - 4x + 4 = 0

Вычислим его дискриминант:

D = (-4)² - 4·1·4 = 16 - 16 = 0

Дискриминант равен нулю, следовательно, это уравнение имеет один корень x = 2.

Как найти корень, если дискриминант равен нулю

Чтобы найти корень квадратного уравнения, у которого дискриминант D равен нулю, используется следующая формула:

x = -b / 2a

Где:

• x - искомый корень
• a и b - коэффициенты уравнения ax² + bx + c = 0

Пошаговый алгоритм решения выглядит так:

1. Найти дискриминант D уравнения
2. Убедиться, что D = 0
3. Подставить коэффициенты a и b в формулу x = -b/2a
4. Вычислить значение x - это и будет искомый корень

Если дискриминант равен нулю, значит уравнение имеет один корень и его можно найти по приведенной выше формуле довольно просто, не используя громоздкие общие формулы для корней квадратного уравнения.

Рассмотрим конкретный пример:

3x² + 6x - 6 = 0
D = (6)² - 4·3·(-6) = 36 - 72 = 0

Дискриминант равен нулю, значит один корень. Находим его:

x = -b/2a = -6/(2·3) = -1

Ответ: единственный корень уравнения x = -1.

Если квадратное уравнение является приведенным (коэффициент a при старшем члене равен 1), то формула упрощается:

x = -b

Особенности решения приведенных уравнений

Рассмотрим подробнее особенности решения приведенных квадратных уравнений, в которых коэффициент a при старшем члене равен 1:

x² + bx + c = 0

Как мы выяснили ранее, если дискриминант равен нулю, то для нахождения корня такого уравнения используется формула:

x = -b

То есть корень просто равен противоположному значению коэффициента b. Это существенно упрощает вычисления.

Например, решим приведенное уравнение:

x² - 4x + 4 = 0

Его дискриминант мы находили ранее: D = 0.

Поэтому сразу записываем ответ - корень x = 4.

Рекомендации при решении таких уравнений

При решении квадратных уравнений, у которых дискриминант равен нулю, следует учитывать несколько важных моментов:

1. Обязательно проверить, что D = 0. Иначе нельзя использовать соответствующую формулу
2. Не путать коэффициенты местами при подстановке в формулу
3. Проверить полученный корень, подставив его в исходное уравнение

Эти простые рекомендации помогут избежать распространенных ошибок.

Какая польза от умения решать такие уравнения

Знание особенностей решения квадратных уравнений с нулевым дискриминантом позволяет:

• Существенно сократить время на нахождение корня
• Избежать громоздких вычислений по общим формулам
• Понимать взаимосвязь между дискриминантом и количеством корней

Кроме того, навык быстрого решения таких уравнений очень полезен для решения различных прикладных задач, в которых часто возникают квадратные и другие уравнения.

Задачи геометрии

Например, необходимо найти сторону квадрата, если известно, что при увеличении ее на 3 см площадь квадрата увеличилась ровно на 90 см2. Составим уравнение:

(x + 3)2 - x2 = 90

Решаем полученное квадратное уравнение. Его дискриминант D = 0, значит применяем соответствующую формулу. Ответ: сторона квадрата равна 6 см.

Задачи физики

В физических задачах тоже могут возникать квадратные уравнения. Например, требуется определить с какой начальной скоростью брошено тело вверх, если оно поднялось на высоту 64 м и движение длилось 4 с. Составляем уравнение движения тела и находим нужную скорость - 16 м/с.

Экономические расчеты

Пусть известно, что выручка фирмы квадратично зависит от объема реализации продукции. Максимальная прибыль достигается при продаже 800 единиц продукции. Требуется определить цену одной единицы. Решаем соответствующее уравнение и находим искомую цену.

Пошаговое решение задач с помощью уравнений

Как видно из приведенных примеров, многие задачи сводятся к решению квадратных или других уравнений. Рассмотрим пошаговый алгоритм решения таких задач:

1. Перевести условие задачи на математический язык
2. Записать соответствующее уравнение
3. Найти дискриминант D этого уравнения
4. В зависимости от значения D, решить уравнение нужным способом
5. Проинтерпретировать полученный результат в контексте задачи