Противоположные числа: свойства, примеры, задачи

Противоположные числа - удивительная математическая концепция с интересной историей. Давайте разберемся, что это такое, изучим свойства и научимся применять на практике для решения задач. Увлекательное путешествие в мир чисел!

Основные понятия и определения

Противоположными называются два числа, которые отличаются друг от друга только знаком. Например, числа 5 и -5 являются противоположными. Формальное определение:

Два числа, отличающихся друг от друга только знаками, называют противоположными числами.

Рассмотрим несколько примеров противоположных чисел:

1 и -1
5.35 и -5.35
-42 и 42

Особенностью обладает число 0 - оно является противоположным самому себе :

0 = -0

Это связано с тем, что на координатной прямой число 0 соответствует началу отсчета. Противоположные числа находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные его стороны.

Частным случаем противоположных чисел являются противоположные целые числа - это пары чисел вида 5 и -5, -13 и 13. Целые числа широко используются на практике, поэтому умение оперировать противоположными целыми важно для решения многих задач.

Свойства и правила

У противоположных чисел есть интересные и полезные свойства, которые помогут нам в дальнейшем.

Правило нахождения противоположного числа

Чтобы найти число, противоположное данному, нужно поставить перед ним знак "минус":

Противоположное числу 5 равно -5
Противоположное числу x записывается как -x

Свойство симметричности

Если число a противоположно числу b, то и b противоположно a.

Например, если -7 противоположно 7, то и 7 противоположно -7.

Свойства и правила

У противоположных чисел есть интересные и полезные свойства, которые помогут нам в дальнейшем.

Каждое число имеет единственное противоположное

Для любого числа существует только одно противоположное ему число. Например, противоположным числу 3 может быть только число -3, других вариантов нет.

Равенство модулей

Модуль числа - это его расстояние до нуля на координатной прямой. Из определения противоположных чисел следует, что их модули равны:

|a| = |-a|

Например, |5| = |-5| = 5. Это удобное свойство часто используется на практике.

Сумма противоположных чисел равна 0

Если сложить противоположные числа, то в результате всегда получится ноль:

a + (-a) = 0

Проверим на примере: 5 + (-5) = 0.

Примеры использования свойств

Давайте теперь на практике посмотрим, как можно использовать свойства противоположных чисел.

Пример 1

Найдем числа, противоположные данным:

Противоположное числу 5 равно -5
Противоположное числу 0 равно 0
Противоположное числу -42 равно 42

Пример 2

Проверим равенство модулей:

|-13| = |13| = 13

Пример 3

Проверим, что сумма противоположных чисел равна нулю:

6 + (-6) = 0
0 + 0 = 0
-57 + 57 = 0

Задачи на нахождение противоположного числа

Рассмотрим несколько простых задач на нахождение противоположного числа:

Найдите число, противоположное числу 5. Решение: -5.
Какое число является противоположным числу -13? Решение: 13.
Чему равно противоположное число 0? Решение: 0.

Геометрическая интерпретация на координатной плоскости

Противоположные числа можно наглядно изобразить на координатной плоскости. Рассмотрим числа 3 и -3.

Отметим на оси абсцисс точки A и B, соответствующие этим числам. Видно, что они находятся на одинаковых расстояниях от начала координат, но по разные его стороны. Это подтверждает геометрический смысл определения и основных свойств противоположных чисел.