Несмещенная оценка дисперсии: понятное руководство для начинающих

Статистический анализ данных - мощный инструмент для принятия обоснованных решений. Но для получения точных выводов крайне важно правильно рассчитывать основные статистические показатели. Давайте разберемся, что такое несмещенная оценка дисперсии и почему она так важна.

Сущность дисперсии и ее роль в статистике

Дисперсия - это одна из ключевых характеристик, описывающих распределение значений случайной величины. Дисперсия показывает, насколько в среднем значения распределены вокруг математического ожидания (среднего значения).

Чем больше дисперсия - тем сильнее разброс значений. Малая дисперсия говорит о том, что большинство значений сосредоточены возле среднего.

Формально дисперсия вычисляется как среднее квадратичное отклонение значений случайной величины от ее математического ожидания:

σ² = E[(X - μ)²]

где X - случайная величина, μ - ее математическое ожидание, E[ ] - оператор математического ожидания.

Дисперсия широко используется в статистике для:

• Оценки однородности выборки
• Сравнения распределений
• Построения доверительных интервалов
• Проверки статистических гипотез
• Анализа временных рядов

Дисперсия тесно связана со стандартным отклонением - это квадратный корень из дисперсии. Стандартное отклонение часто используют для интерпретации разброса значений в тех же единицах, что и сами значения.

Например, пусть у нас есть выборка значений заработных плат:

Среднее значение в этой выборке равно 20000. Дисперсия составляет 250000. Стандартное отклонение равно 500. Это значит, что в среднем значения отклоняются от среднего на 500 условных единиц.

Разница между генеральной и выборочной дисперсией

Чтобы понять сущность несмещенной оценки дисперсии, нужно разобраться в разнице между генеральной и выборочной дисперсиями.

Генеральная совокупность - это полное множество всех возможных наблюдений случайной величины. Генеральная дисперсия вычисляется по всем данным генеральной совокупности.

Выборка - подмножество наблюдений, взятое из генеральной совокупности. Выборочная дисперсия вычисляется только по данным выборки.

Формулы для расчета генеральной и выборочной дисперсий выглядят следующим образом:

Генеральная дисперсия: σ² = (1/N) Σ(x_i - μ)²

Выборочная дисперсия: s² = (1/n) Σ(x_i - x̄)²

Здесь μ - генеральное среднее, а x̄ - выборочное среднее.

Например, пусть генеральная совокупность состоит из значений {1, 7, 4, 14, 11, 5}. Тогда генеральная дисперсия равна 20.

Если взять выборку из этой совокупности {4, 14, 11}, то ее выборочная дисперсия будет равна 25.

Таким образом, выборочная дисперсия может отличаться от генеральной и служит ее оценкой.

Несмещенная оценка дисперсии - что это такое?

Как мы видели, выборочная дисперсия отличается от генеральной. Возникает вопрос - насколько хорошо выборочная дисперсия оценивает истинное значение генеральной дисперсии?

Оказывается, стандартный способ вычисления выборочной дисперсии дает смещенную оценку. Это значит, что в среднем получаемая оценка систематически отклоняется от истинного значения параметра.

Чтобы исправить это, вводится понятие несмещенной оценки дисперсии. Несмещенная оценка в среднем равна истинному значению оцениваемого параметра.

Давайте разберемся, почему стандартный способ дает смещенную оценку и как рассчитать несмещенную дисперсию.

Причина смещения кроется в том, что выборочная дисперсия рассчитывается от выборочного среднего x̄, которое также является случайной величиной.

При вычислении суммы квадратов отклонений используется "наилучшая" точка x̄. Это приводит к тому, что в среднем получаемая сумма квадратов оказывается меньше, чем если бы мы брали отклонения от истинной точки μ.

В результате выборочная дисперсия в среднем немного занижает значение генеральной дисперсии.

Чтобы скорректировать смещение, используют следующую формулу несмещенной оценки дисперсии:

s² = (1/(n-1)) ∑(x_i - x̄)²

Здесь в знаменателе стоит n-1, а не просто n. Это и есть коррекция, позволяющая получить несмещенную оценку.

Как учет n-1 исправляет смещение

Давайте разберемся, почему деление на n-1 вместо n исправляет смещение выборочной дисперсии и делает ее несмещенной оценкой.

При делении суммы квадратов отклонений на n завышается число степеней свободы системы. Ведь одна степень свободы "съедается" при расчете выборочного среднего x̄.

Уменьшая знаменатель на единицу, мы как бы убираем лишнюю степень свободы и получаем корректное число для деления. В результате исправляется занижение дисперсии.

Свойства несмещенной оценки дисперсии

Рассмотрим основные свойства несмещенной оценки дисперсии:

• Является состоятельной, то есть стремится к истинному значению дисперсии при увеличении объема выборки
• Эффективна, если распределение близко к нормальному
• Не является робастной - сильно зависит от выбросов
• Имеет смещенность порядка 1/n

Таким образом, несмещенная оценка обладает хорошими свойствами состоятельности и эффективности при нормальном распределении.

Как посчитать несмещенную дисперсию

Рассмотрим последовательность расчета несмещенной оценки дисперсии на примере:

1. Задать выборку значений: {3, 5, 6, 7, 10}
2. Найти выборочное среднее: (3 + 5 + 6 + 7 + 10) / 5 = 6
3. Вычислить отклонения от среднего: {-3, -1, 0, 1, 4}
4. Возвести отклонения в квадрат: {9, 1, 0, 1, 16}
5. Сложить квадраты отклонений: 9 + 1 + 0 + 1 + 16 = 27
6. Поделить сумму на n-1 = 4
7. Получить несмещенную оценку дисперсии: 27 / 4 = 6.75

Данная методика позволяет корректно рассчитать несмещенную дисперсию для любой выборки значений.

Когда можно использовать смещенную дисперсию

Хотя несмещенная оценка дисперсии и предпочтительнее, в ряде случаев можно обойтись и смещенной выборочной дисперсией:

• При больших объемах выборки (n > 50) разница становится несущественной
• Если требуется быстрая приблизительная оценка
• Для анализа сильно отфильтрованных данных

То есть смещенная дисперсия имеет право на жизнь в случаях, когда важнее скорость или грубая оценка. А вот для точного статистического анализа данных следует использовать именно несмещенную оценку.

Выборочная несмещенная дисперсия в практических задачах

Рассмотрим использование выборочной несмещенной дисперсии в решении практических задач:

• Оценка однородности данных в эксперименте
• Сравнение разброса значений в разных группах
• Проверка значимости различий с помощью критерия Фишера
• Построение доверительных интервалов для оценки параметров

Везде, где требуется точная статистическая оценка дисперсии, следует использовать именно несмещенную выборочную дисперсию. Это позволит получать обоснованные выводы и избежать ошибок.