Формула Стирлинга: интересные факты и свойства

Формула Стирлинга - удивительное математическое открытие 18 века, которое и по сей день не перестает удивлять ученых. Она позволяет с помощью простых функций получить приближенное значение факториалов очень больших чисел, которые практически невозможно посчитать напрямую. Эта статья в доступной форме расскажет об истории открытия формулы Стирлинга, ее уникальных свойствах и различных областях применения в науке и технике.

История открытия формулы Стирлинга

Формула Стирлинга была впервые опубликована в 1730 году шотландским математиком Джеймсом Стирлингом в его книге "Метод изучения бесконечно малых". Именно поэтому она и носит его имя.

Формула позволяет вычислить приближенное значение факториала больших чисел n! = 1*2*...*n через элементарные функции без использования трудоемких операций перемножения.

Первоначальный вариант формулы Стирлинга выглядел так:

Здесь p - число π, а e - основание натурального логарифма. Уже этот вариант показывал хорошую точность, но со временем формула была еще больше уточнена.

Улучшение формулы Стирлинга

• 1738 г. - Ойлер уточнил значение коэффициента
• 1815 г. - Лаплас добавил слагаемые более высокого порядка малости
• 1901 г. - А.Марков сформулировал ее современный вид с теоремой об остаточном члене, ограничивающем погрешность

В разные годы над улучшением формулы работали выдающиеся математики Де Муавр, Пуассон, Чебышев. Благодаря их усилиям точность формулы Стирлинга была существенно повышена, что позволило использовать ее в решении важных научных задач.

Математическое определение формулы

Что такое факториал

Факториал - это произведение всех целых чисел от 1 до n. Он обозначается в математике как n!:

Факториал — это произведение всех натуральных чисел от 1 до данного числа. Например, факториал числа 5 будет равен 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120

Почему нужна приближенная формула

Факториал растет невероятно быстро. Уже при n=100 его значение составляет 9,3*10¹⁵⁷. Поэтому для вычисления факториала больших чисел требуются особые приближенные формулы, одна из которых и была найдена Стирлингом.

Значение коэффициента Стирлинга

S - коэффициент Стирлинга. Его значение обычно выбирают равным корню квадратному из 2π или 1.

Зависимость точности от аргумента n

Чем больше аргумент n в формуле Стирлинга, тем выше точность получаемого приближения для факториала. Это одно из ключевых преимуществ формулы.

Например, уже при n=10 погрешность составляет менее 1%. А при n=100 она падает до 0,0001%! То есть с ростом n точность стремительно возрастает.

Влияние числа знаков после запятой

Еще один способ повысить точность - увеличить количество знаков после запятой для всех переменных в формуле Стирлинга. Если взять 20 знаков вместо 5, то погрешность вычислений может уменьшиться в десятки и сотни раз!

Сравнение с другими формулами

Помимо формулы Стирлинга, существуют и другие способы приближенного вычисления факториалов - формула раскрытия функции в ряд Тейлора, интегральное представление. Но ни одна из них не дает такой высокой точности при больших значениях аргумента n.

Зависимость от коэффициента Стирлинга

Коэффициент Стирлинга S также влияет на точность, его оптимальное значение нужно подбирать для каждой конкретной задачи. Чаще всего берут 1 или корень квадратный из 2π.

Области применения формулы Стирлинга

Благодаря своим уникальным свойствам, формула Стирлинга нашла применение во множестве областей - от теории вероятностей до физики и инженерных расчетов. Позволяет получать хорошие приближения там, где прямые вычисления факториалов невозможны.

Применение в теории вероятностей

Одно из основных применений формулы Стирлинга - это вычисление вероятностей сложных событий в теории вероятностей и математической статистике. С помощью нее можно существенно упростить громоздкие выражения с факториалами больших чисел.

Использование в физике и естественных науках

В физике часто приходится иметь дело с большим числом частиц или квантовых состояний. Формула Стирлинга позволяет упростить соответствующие статистические распределения и получить практичные приближенные формулы для конкретных расчетов.

Применение в инженерных задачах

Помимо науки, формула Стирлинга используется и в решении прикладных инженерных задач - например, при оценке числа состояний сложных технических систем. Это позволяет оптимизировать их работу.

Реализация формулы на компьютерах

Для использования в научных и инженерных расчетах формулу Стирлинга реализуют в виде компьютерных программ и алгоритмов. Это дает возможность быстро получать приближенные значения факториалов внутри других математических выражений.

Перспективы дальнейшего изучения

Несмотря на долгую историю, формула Стирлинга до сих пор привлекает пристальное внимание математиков. Ведутся работы по дальнейшему повышению ее точности и расширению областей применения на новые перспективные направления науки и техники.

Применение формулы Стирлинга в лингвистике

Интересно, что формула Стирлинга нашла применение и в такой на первый взгляд далекой от математики области как лингвистика. Она используется при статистическом анализе текстов.

Например, с помощью формулы можно оценить, насколько случайно слова распределены по тексту или выявить наиболее часто встречающиеся словосочетания.

Применение формулы в экономике и финансах

В экономических и финансовых расчетах также встречаются задачи на вычисление вероятностей и комбинаторных конфигураций, для которых удобно использовать формулу Стирлинга.

Она позволяет упростить оценку рисков, прогнозирование рынка и оптимизацию инвестиционных портфелей.

Связь со сложными числовыми последовательностями

Существует интересная и неожиданная связь между формулой Стирлинга и некоторыми сложными числовыми последовательностями, такими как числа Фибоначчи или числа Каталана.

При определенных преобразованиях формулы можно получить asymptotic приближения для этих последовательностей при больших номерах.