Пересечение множеств: где сходятся элементы

Пересечение множеств - увлекательная математическая операция, позволяющая найти общие элементы двух и более множеств. Давайте разберемся, что это такое и где в жизни пригодится это полезное знание.

Что такое пересечение множеств и зачем оно нужно

Пересечение множеств - это операция, в результате которой получается новое множество, содержащее только те элементы, которые одновременно входят в оба исходных множества.

Например, пусть заданы множества A = {1, 3, 5} и B = {3, 5, 7}. Тогда их пересечение будет C = A ∩ B = {3, 5}. Это элементы, общие для обоих множеств.

Основное предназначение операции - находить общий круг знакомых, похожие черты и т.д. Например, при создании таргетированной рекламы важно найти пересечение интересов потенциальных клиентов. Или в социологии, чтобы понять связи между разными группами людей.

Свойства пересечения множеств

Пересечение множеств обладает тремя свойствами:

1. Коммутативность - порядок множеств не влияет на результат: \A ∩ B = B ∩ A
2. Ассоциативность - порядок вычисления не важен: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
3. Идемпотентность - пересечение множества самим собой дает это же множество: A ∩ A = A

Эти свойства часто используются при доказательствах в теории множеств.

Алгоритм

Для конечных множеств применяется такой алгоритм:

1. Записать элементы первого множества;
2. Последовательно сравнить их со вторым множеством;
3. Выписать те элементы, которые входят в оба множества - это и есть пересечение.

Например, пусть A = {2, 5, 7}, B = {3, 5, 7, 9}. Сравниваем по порядку:

• 2 - нет в B, не входит в пересечение
• 5 - есть в B, входит в пересечение
• 7 - есть в B, входит в пересечение

Итого: \A ∩ B = {5, 7}.

Графический способ

Пересечение множеств можно найти с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Множества изображаются в виде замкнутых фигур на плоскости. Область их наложения и есть пересечение.

Пересечение числовых множеств

Рассмотрим пример нахождения пересечения множеств на числовой прямой. Пусть заданы следующие числовые промежутки:

• A = [2; 7) = {x | 2 ≤ x < 7}
• B = (3; 10] = {x | 3 < x ≤ 10}

Изобразим эти промежутки графически:

Видно, что общей частью этих отрезков является промежуток [3; 7). Это и есть пересечение множеств A и B:

\A ∩ B = [3; 7)

Пересечение бесконечных множеств

А как быть, если множества бесконечны и заданы не явно, а с помощью характеристического свойства?

Например:

• C = {x | x - рациональное число}
• D = {x | \sin{x} > 0}

Чтобы найти \C ∩ D, нужно составить систему из двух неравенств:

Решив ее, получаем пересечение множеств в виде числовых промежутков: \C ∩ D = (−1; 1) ∪ (π; 2π).

Задачи на пересечение множеств

Рассмотрим классическую задачу:

В классе 30 учеников, из них:

• играют в футбол — 12 человек
• играют в волейбол — 15 человек
• играют и в футбол, и в волейбол — 7 человек

Сколько учеников не играют ни в футбол, ни в волейбол?

Обозначим:

• F - множество играющих в футбол
• V - множество играющих в волейбол

Тогда |F| = 12, |V| = 15. Пересечение этих множеств F ∩ V - это те, кто играет в оба вида спорта. Из условия известно, что таких учеников 7 человек.

Не играют ни в один из видов спорта, значит, они не попадают ни в множество F, ни во множество V. Это дополнение до универсального множества U (все ученики класса):

U ∖ (F ∪ V) = 30 ∖ (12 + 15 - 7) = 10 учеников

Ответ: 10 учеников не играют ни в футбол, ни в волейбол.

Пересечение подмножеств

Если одно множество целиком входит в другое множество в качестве подмножества, то их пересечение равно меньшему по объему множеству:

• A ⊆ B → A ∩ B = A
• B ⊆ A → A ∩ B = B

Это легко продемонстрировать на примере:

Здесь F - подмножество множества S. Их общей частью являются все элементы множества F. То есть F ∩ S = F.

Пересечение более двух множеств

Что, если нужно найти пересечение сразу трех или более множеств? В этом случае применяется ассоциативное свойство пересечения:

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

То есть можно сначала взять пересечение двух множеств, а затем пересечь результат с третьим множеством. И повторять это до тех пор, пока не пересечем все множества.

Например, пусть заданы множества:

• A = {2, 3, 5, 7}
• B = {1, 3, 5, 9}
• C = {3, 5, 8}
• D = {2, 5, 9}

Тогда:

1. A ∩ B = {3, 5}
2. (A ∩ B) ∩ C = {3, 5} ∩ {3, 5, 8} = {3, 5}
3. ((A ∩ B) ∩ C) ∩ D = {3, 5} ∩ {2, 5, 9} = {5}

Значит, пересечение всех четырех множеств равно {5}.