Предельный признак сравнения рядов: формулировка и алгоритм использования

Числовые ряды - важная тема высшей математики. Предельный признак сравнения позволяет эффективно исследовать сходимость рядов в практических задачах. Давайте разберемся с его применением на конкретных примерах.

1. Формулировка предельного признака сравнения рядов

Рассмотрим задачу исследования сходимости двух произвольных числовых рядов. Для начала дадим необходимые определения.

Числовой ряд - это бесконечная сумма вещественных чисел (членов ряда), обозначаемая так:

∑ an = a1 + a2 + ... + an + ...

Если все члены ряда неотрицательны, такой ряд называют положительным.

Теперь можно сформулировать предельный признак сравнения. Пусть даны два положительных числовых ряда:

• ∑ a_n
• ∑ b_n

Если существует предел:

lim (an/bn) = K (0 ≤ K ≤ +∞)

то можно сделать вывод:

• если ряд ∑ b_n сходится и 0 < K < +∞, то ∑ a_n тоже сходится;
• если ряд ∑ b_n расходится и 0 ≤ K < +∞, то ∑ a_n тоже расходится.

Таким образом, сходимость или расходимость сравниваемых рядов в этом случае наступает одновременно.

Рассмотрим применение признака для рядов ∑(3n+1)/n и ∑1/n². Второй ряд известно сходится. Вычислим отношение общих членов:

lim [(3n+1)/n] / [1/n2] = lim (3 + 1/n)·n = 3

Получено конечное число. Значит, первый ряд тоже сходится.

2. Признак сравнения рядов. Особенности применения признака

Предельный признак сравнения наиболее эффективен для исследования сходимости следующих видов числовых рядов:

1. ряды с многочленами в числителе и/или знаменателе общего члена;
2. степенные и показательные ряды.

При этом в качестве ряда для сравнения чаще всего выбирают:

• члены обобщенного гармонического ряда (1/n, 1/n² и т.д.);
• члены обобщенного степенного ряда (1/n^α).

Составлять отношение общих членов рядов можно в любом порядке:

an/bn или bn/an

Это не повлияет на результат применения признака.

В отличие от необходимого признака сходимости, здесь из устремления общего члена ряда к нулю еще нельзя делать вывод о сходимости ряда. Предельный же признак сравнения более силен, чем просто признак сравнения рядов.

Рассмотрим в качестве примера ряд, где многочлен находится под корнем:

∑ 1/√(n3 + 5n + 3)

Для сравнения возьмем сходящийся ряд ∑ 1/n^3/2. Тогда:

lim [1/√(n3 + 5n + 3)] / [1/n3/2] = 1 ≠ 0

По признаку исследуемый ряд тоже сходится.

3. Признаки сравнения числовых рядов. Исследование отношения общих членов

Отношение общих членов сравниваемых рядов - ключевой элемент предельного признака сравнения. Поэтому очень важно правильно найти его предел, используя известные приемы.

Напомним, как раскрывать неопределенности типа 0/0 и ∞/∞ с помощью разложения многочленов в ряд Тейлора и применения теорем о среднем:

Пусть f(x) и g(x) - многочлены. Тогда:

lim (f(x)/g(x)) = lim (f'(x)/g'(x))

Если же многочлен находится только в числителе или только в знаменателе, предел отношения упрощается:

признак сравнения рядов примеры С многочленами под корнем часто приходится сложнее. Рассмотрим на конкретном примере.

Пусть дан ряд ∑√(2n⁴ - n)/n³. Выберем ряд ∑1/n^5/4 и исследуем отношение:

lim [√(2n4 - n)/n3] / [1/n5/4]

Чтобы упростить выражение, нужно определить старшую степень многочлена под корнем. Для этого мысленно отбросим все члены, кроме старшего:

√(2n4) → 2n2

Теперь можно записать предел так:

lim (√2 · n)/n1/4 = √2 ≠ 0

Получено конечное отличное от нуля число. Значит, исследуемый ряд сходится.

4. Критерии выбора ряда для сравнения

Чтобы правильно применить предельный признак сравнения, нужно уметь подобрать подходящий ряд для сравнения с исследуемым рядом. Обычно это делают, ориентируясь на старшие степени многочленов в числителе и знаменателе общего члена.

Например, если в знаменателе стоит многочлен n³, а в числителе - n, то для сравнения логично взять ряд с членами вида 1/n⁴. То есть разность старших степеней сохраняется.

При этом если нужно доказать сходимость данного ряда, то в качестве ряда сравнения берут заведомо сходящийся ряд. И наоборот, чтобы показать расходимость, сравнивают с расходящимся рядом.

Если в ряде есть знакопеременные члены или минусы, признак все равно можно использовать, но придется быть аккуратнее с выбором ряда для сравнения.

Например, рассмотрим ряд с минусом под корнем: ∑1/√(n - 3n). Хотя старшая степень - n, но сравнивать с гармоническим рядом здесь не получится. Возьмем вместо него расходящийся ряд ∑1/√n.

5. Типичные ошибки при использовании признака

Несмотря на кажущуюся простоту формулировки, на практике предельный признак сравнения часто применяют с ошибками. Рассмотрим наиболее распространенные из них.

1. Неверный подбор ряда для сравнения, не учитывающий старшие степени сравниваемых многочленов.
2. Ошибки в исследовании предела отношения общих членов рядов из-за неправильного раскрытия неопределенностей.
3. Применение признака к рядам, которые не удовлетворяют необходимым условиям (не являются положительными, не имеют конечного предела отношения общих членов).
4. Некорректные выводы о сходимости или расходимости числовых рядов, противоречащие полученным в ходе решения результатам.

Разберем последний случай на конкретном примере. Пусть исследуется ряд ∑(n - n³)/n⁵. Для сравнения возьмем ряд ∑1/n⁴. Тогда предел отношения равен нулю. НО из этого нельзя сделать вывод, что данный ряд расходится! Правильное заключение: о сходимости или расходимости ряда из признака судить нельзя.

6. Практические советы по использованию признака

Чтобы научиться быстро и правильно применять предельный признак сравнения рядов, полезно придерживаться следующего пошагового алгоритма:

1. Определить тип ряда и убедиться, что он удовлетворяет необходимым условиям.
2. Выбрать подходящий ряд для сравнения и записать отношение общих членов.
3. Найти предел отношения общих членов с помощью известных приемов.
4. Сделать вывод о сходимости/расходимости сравниваемых рядов.

Полезные приемы на этапе выбора ряда и исследования предела:

• мысленно находить старшие степени многочленов;
• использовать тождественные преобразования для упрощения отношения;
• записывать только итоговое выражение для предела.

В ответе лучше явно указывать, является ли полученное значение предела конечным отличным от нуля числом или нет. И уже исходя из этого делать обоснованный вывод о сходимости рядов.

Рассмотрим применение всех этих полезных приемов для ряда ∑(2n + √n)/n². Сравним его с рядом ∑1/n. Итоговый ответ должен выглядеть так:

7. Когда и зачем нужен предельный признак сравнения

Итак, мы разобрались с формулировкой, особенностями применения и типичными ошибками предельного признака сравнения рядов. Теперь резонно возникает вопрос: а в каких конкретно случаях имеет смысл использовать этот признак?

Во-первых, предельный признак сравнения - один из основных способов исследования сходимости степенных рядов по параметру. Именно с его помощью можно определить интервал сходимости таких рядов, подобрав граничное значение параметра.

Во-вторых, этот признак удобно применять для доказательства сходимости бесконечных рядов Тейлора и Фурье. Здесь он дает более простое и наглядное решение по сравнению с оценкой остаточного члена.

В-третьих, предельный признак сравнения гораздо мощнее необходимого признака сходимости и обычного признака сравнения. Поэтому его стоит использовать в тех случаях, когда другие признаки не дают однозначного ответа о сходимости ряда.

8. Преимущества предельного признака сравнения

К достоинствам предельного признака сравнения по сравнению с другими признаками сходимости можно отнести:

• Применим к широкому классу рядов со степенными и многочленными членами.
• Позволяет исследовать сходимость сразу двух рядов.
• Дает однозначный ответ о сходимости в отличие от необходимого признака.
• Не требует выполнения неравенства на каждом шаге, как в признаке сравнения.

Таким образом, этот критерий сходимости является универсальным и мощным инструментом при работе с числовыми рядами.

9. Перспективы дальнейшего изучения теории рядов

После того, как вы разобрались с основными моментами применения предельного признака сравнения, можно переходить к более глубокому изучению теории рядов.

В частности, предстоит подробно разобраться со сходимостью функциональных рядов - степенных, тригонометрических и других. Здесь тоже активно применяют рассмотренный нами признак, поэтому база уже заложена.

Другое перспективное направление - это теория двойных и тройных рядов. После того как мы научились исследовать сходимость обычных рядов, можно переходить к более общим конструкциям.

Также предстоит изучить различные признаки Абеля и Дирихле. Они тоже основаны на сравнении рядов, поэтому знание предельного признака сравнения значительно облегчит их усвоение.