Таблица функций первообразных: полное руководство

При вычислении интегралов часто приходится применять различные математические правила и свойства. Это связано с тем, что прямое интегрирование по таблице первообразных возможно далеко не для всех функций. Для расширения класса интегрируемых функций и используются дополнительные приемы интегрирования.

1. Правила интегрирования функций

Основные свойства неопределенного интеграла

При вычислении интегралов используются следующие свойства:

1. Линейность:
   ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx ∫C·f(x)dx = C·∫f(x)dx, где C - константа

Правила интегрирования степенных функций

Для интегрирования степенных функций вида x^n используется следующая формула из таблицы функций первообразных:

∫x^n dx = (1/(n+1))·x^(n+1) + C, где n ≠ -1

Это одна из наиболее часто применяемых формул для нахождения первообразной. Рассмотрим примеры ее использования:

1. Найти первообразную функции y = 3x^2

   Решение. Подставляем n = 2 в формулу для степенной функции:

   ∫3x^2 dx = (1/3)·3x^3 + C = x^3 + C

2. Найти первообразную функции y = x^(-2)

   Решение. Подставляем n = -2. Получаем: ∫x^(-2) dx = (1/(-2+1))·x^(-2+1) + C = -1/x + C

Правила интегрирования показательных и логарифмических функций

Таблица функций первообразных также содержит правила для нахождения первообразных показательных и логарифмических функций:

• Первообразная a^x: (1/ln(a))·a^x + C
• Первообразная ln(x): x·ln(x) − x + C

Где a - константа.

Метод интегрирования по частям

Еще один распространенный прием найти первообразную - это интегрирование по частям. Его формула:

∫u(x)·v'(x)dx = u(x)·v(x) - ∫u'(x)·v(x)dx

Где u(x) и v(x) - некоторые функции.

Данный метод позволяет найти первообразную для произведения функций, сводя задачу к интегрированию более простых функций.

Замена переменной интегрирования

Замена переменной также является эффективным методом интегрирования. Пусть имеется какая-либо зависимость между x и t:

x = g(t)

Тогда для первообразной справедлива формула:

∫f(g(t))·g'(t)dt = ∫f(x)dx

Это позволяет свести исходный интеграл к более простому виду с новой переменной t.

Разложение подынтегральной функции в сумму

Если функция имеет сложный общий вид, ее можно разложить в сумму более простых слагаемых с последующим интегрированием:

∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx

Это позволяет упростить процесс найти первообразную для такой функции.

Пример разложения рациональной функции

Рассмотрим на примере использование разложения функции в частные дроби для ее последующего интегрирования. Необходимо найти первообразную для функции:

f(x) = (x^2 + 5)/(x^3 - 3x)

Произведем разложение этой рациональной функции на сумму простейших дробей:

f(x) = (A/x) + (Bx + C)/(x^2 - 9)

Вычислим коэффициенты A, B и C из равенства дробей. Получим:

• A = 1
• B = 2
• C = 5

Окончательно:

f(x) = (1/x) + (2x + 5)/(x^2 - 9)

Интегрирование разложенной функции

Теперь интегрируем полученную сумму частных дробей. Используя таблицу функций первообразных, находим:

∫(1/x)dx = ln|x| + C

а также:

∫(2x + 5)/(x^2 - 9)dx = -(1/3)·ln|x^2 - 9| + C

Складывая интегралы, получаем искомую первообразную для функции f(x):

∫f(x)dx = ln|x| - (1/3)·ln|x^2 - 9| + C

Разложение тригонометрических функций

Аналогичный прием применим и для некоторых тригонометрических функций, которые удобно представить через sin(x), cos(x) и разложить с использованием формул понижения степени.

Например:

tg(x) = sin(x)/cos(x)

ctg(x) = cos(x)/sin(x)

Проинтегрировать такие выражения уже несложно с помощью таблицы функций первообразных.

Разложение иррациональных функций

Функции, содержащие радикалы, также могут быть представлены в виде суммы более простых слагаемых. Например:

∫√(a^2 ± x^2)dx

Замена x = a·sin(t) или x = a·tg(t) позволяет выразить радикал через tg(t) или sin(t) и далее интегрировать по частям или с использованием таблицы первообразных.

Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим примеры интегрирования тригонометрических функций с использованием разложения.

Найти первообразную функции y = tg(3x).

Используем формулу:

tg(3x) = sin(3x)/cos(3x)

Тогда:

∫tg(3x)dx = ∫(sin(3x)/cos(3x))dx

Интегрируя по частям, получаем:

∫tg(3x)dx = -(1/3)·ctg(3x) + C

Интегрирование иррациональных функций

Найдем первообразную функции y = 1/√(x) с помощью замены переменной.

Пусть x = t^2. Тогда dx = 2t dt и исходный интеграл примет вид:

∫(1/√x)·(2t)dt = 2∫(1/t)·tdt = 2ln|t|+C = 2ln|√x| + C

Аналогично можно интегрировать функции, содержащие любые корни натуральной степени.

Сведение к табличным интегралам

Иногда первоначально сложные интегралы могут быть сведены к простым табличным с помощью преобразований.

Рассмотрим пример:

∫ ln(x)/√x dx

Выполним замену t = √x. Тогда получим табличный интеграл:

∫ ln(t^2)·2t dt = 2∫ t·ln(t) dt = 2(t^2·ln(t) - t^2) + C

Подставляя обратно t = √x, найдем искомую первообразную.

Использование интегралов для приближенных вычислений

Интегралы могут быть использованы для нахождения приближенных численных значений различных величин.

Например, площадь криволинейной трапеции может быть вычислена как интеграл от функции, задающей одну из границ этой трапеции.

Применение интегралов в физике и других науках

Помимо математики, интегралы находят широкое применение в физике, экономике, статистике - везде, где требуется находить площади, объемы, массы, работу и другие физические величины.