Длина волны: формула де Бройля, вывод, физический смысл

Явление дифракции электронов, открытое в 1927 году, потрясло научный мир - оказалось, что даже элементарные частицы обладают волновыми свойствами. Это революционное открытие принадлежит молодому французскому физику Луи де Бройлю. В его честь волны, сопровождающие любые движущиеся частицы, назвали волнами де Бройля. Давайте разберемся, откуда берется длина этих удивительных волн и что она означает на самом деле. Это позволит нам лучше понять квантовую природу нашего мира.

История открытия волн де Бройля

Луи де Бройль родился в 1892 году во Франции в семье выдающихся физиков. Его дед по матери Шарль Брюс был профессором физики, а отец Морис де Бройль занимался исследованиями в области кристаллографии. Вероятно, это и определило интерес Луи к физике с самого детства.

В 1920 году де Бройль защитил докторскую диссертацию, посвященную теории электронов в кристаллах. Работая над ней, он глубоко изучил квантовую теорию и эксперименты по дифракции электронов. Это и натолкнуло его на мысль о существовании волн материи.

«Я предположил, что электрон в любом случае должен быть связан с некоторой волной, и я попытался найти связь между энергией и частотой этой волны», - Луи де Бройль.

В 1923 году де Бройль опубликовал статью, в которой выдвинул гипотезу о том, что любым движущимся частицам сопутствуют волны. Эти волны впоследствии назвали волнами де Бройля. А в 1927 году Дэвиссон и Джермер экспериментально подтвердили существование таких волн, наблюдая дифракцию электронов на кристалле никеля. Это открытие всколыхнуло всю физику и положило начало квантовой механики.

Физический смысл длины волны де Бройля

Что же представляют собой волны де Бройля? В чем их физический смысл и что определяет их длину? Давайте разберемся.

Согласно современным представлениям, микрочастицы обладают двойственной природой - они ведут себя и как частицы, и как волны. Это квантовое свойство называется корпускулярно-волновым дуализмом. То есть частицам присущи корпускулярные характеристики (масса, импульс, энергия), но в то же время они подчиняются и волновым закономерностям, проявляя интерференцию, дифракцию и так далее.

Волны де Бройля как раз и отражают волновую природу частиц. Согласно принципу неопределенности Гейзенберга, невозможно одновременно точно знать координату и импульс микрообъекта. Поэтому волны де Бройля носят вероятностный характер. Квадрат модуля волновой функции определяет лишь плотность вероятности обнаружить частицу в данной точке пространства.

Таким образом, волны де Бройля - это не реальные физические волны, переносящие энергию в пространстве. Это скорее математическая абстракция, удобная для описания поведения квантовых частиц. Нельзя сказать, что электрон буквально является одновременно частицей и волной. На самом деле это некий квантовый объект со своими законами.

Общая формула для длины волны де Бройля

Итак, давайте выведем универсальную формулу для длины волны де Бройля λ, связывающую ее с другими характеристиками частицы.

Начнем с соотношения Планка-Эйнштейна для фотона:

E = hν

Здесь E - энергия фотона, h - постоянная Планка, ν - частота фотона. Для фотона импульс р связан с энергией соотношением:

E = pc

Где с - скорость света. Подставляя это выражение в формулу Планка-Эйнштейна, получаем:

pc = hν

Отсюда видно, что импульс фотона связан с частотой волны. А по определению длины волны λ = c/ν. Тогда:

p = h/λ

А теперь распространим это соотношение на любые частицы, postulando универсальность формулы де Бройля. Длина волны де Бройля движущейся частицы обратно пропорциональна ее импульсу:

λ = h/p

Здесь p = mv - импульс частицы, m - ее масса, v - скорость. Таким образом, мы получили общую формулу для вычисления длины волны де Бройля, которая справедлива для любых частиц.

Для нерелятивистских частиц можно записать более простое соотношение:

λ = h/mv

Отсюда видно, что длина волны тем меньше, чем больше масса частицы и ее скорость. У макроскопических объектов длина волны де Бройля пренебрежимо мала, поэтому их волновые свойства не проявляются.

Теперь давайте посмотрим, как эта формула работает на конкретных примерах для разных частиц.

Релятивистские эффекты

При скоростях частиц, сравнимых со скоростью света, необходимо принимать во внимание эффекты теории относительности. Как изменится длина волны де Бройля в этом случае?

Согласно преобразованиям Лоренца, длина любого объекта, движущегося со скоростью v, в системе покоя будет кажущейся и определяется соотношением:

L = L0(1 - v²/c²)^-1/2

Здесь L0 - собственная длина объекта, а L - наблюдаемая длина. Применим эту формулу к волнам де Бройля. Их собственная длина λ0 связана с импульсом частицы в ее системе покоя. А длина волны λ, измеренная в лабораторной системе отсчета, выразится так:

λ = λ0(1 - v²/c²)^-1/2

Мы видим, что с увеличением скорости частицы длина ее волны де Бройля возрастает. Это объясняется замедлением времени и лоренцева сокращения длины согласно СТО.

Так, например, для электрона с энергией 1 МэВ (v ≈ 0,9c) длина волны де Бройля составит около 4 пм. Это в 10 раз больше значения, вычисленного по нерелятивистской формуле.

Скорость распространения волн де Бройля

Еще один интересный вопрос - какова скорость распространения волн де Бройля? Здесь следует различать два понятия:

• Фазовая скорость - скорость распространения отдельной фазы волны;
• Групповая скорость - скорость переноса энергии волновым пакетом.

Для волн де Бройля это две разные вещи. Давайте посмотрим, как они определяются.

Фазовая скорость связана с частотой и волновым числом соотношением:

Вф = ω/k

Подставляя сюда частоту и волновое число для волн де Бройля, получаем:

Вф = pc²/E

Отсюда видно, что фазовая скорость всегда больше скорости света! Это кажущийся парадокс, на самом деле никаких противоречий с теорией относительности здесь нет, так как фазовая скорость не является скоростью передачи сигнала или энергии.

Дисперсия волн де Бройля

Как мы выяснили, волнам де Бройля присуще такое свойство, как дисперсия. То есть скорость распространения зависит от частоты волны. Это означает, что волновой пакет, составленный из таких волн, со временем будет "расплываться".

Попытаемся оценить время "жизни" волнового пакета де Бройля τ. Для этого воспользуемся соотношением неопределенностей для энергии и времени:

ΔE Δτ ≥ ħ

Здесь ΔE – ширина спектра энергии в волновом пакете, Δτ – время его существования как единого целого. Подставив численные значения для электрона с энергией 100 эВ, получим порядок 10^-26 с.

Мы видим, что волновой пакет де Бройля распадется чрезвычайно быстро, за время порядка 10^-26 с! Это намного меньше, чем для других типов волн, например, электромагнитных или звуковых. Таким образом, говорить о волновом пакете применительно к волнам де Бройля в буквальном смысле некорректно.

Длина волны де Бройля (формула)

Давайте еще раз вспомним универсальное соотношение для длины волны де Бройля, полученное нами ранее:

λ = h/p

Здесь λ – искомая длина волны де Бройля, h – постоянная Планка, а p – импульс частицы. Для нерелятивистских скоростей это выражение можно записать в виде:

λ = h/mv

Так что теперь мы знаем точную формулу для вычисления длины волны де Бройля. Подставив численные значения всех величин, можно найти λ для частицы с заданным импульсом или энергией.

Эксперименты по измерению длины волны

Первым экспериментальным подтверждением существования волн де Бройля стала работа Дэвиссона и Джермера 1927 года по наблюдению дифракции пучка электронов на кристалле никеля. Но с тех пор было проведено множество других опытов.

Один из распространенных методов - это измерение дифракционной картины от электронов, пролетающих сквозь щель. По угловому распределению интенсивности можно рассчитать длину волны де Бройля и сравнить с теоретически предсказанным значением.

Также возможно напрямую измерять длину волны де Бройля, регистрируя интерференцию электронов при их отражении от кристаллической решетки. Этот метод широко используется в электронной микроскопии для исследования наноструктур.

Проявление на макроуровне

Хотя длина волны де Бройля для макроскопических объектов пренебрежимо мала, иногда удается обнаружить проявления их квантовых свойств.

Например, в опытах по интерференции пучков молекул фуллерена. Несмотря на то, что масса такой молекулы порядка 1000 атомных единиц, удалось зарегистрировать дифракционную картину, соответствующую волнам де Бройля с длиной около 100 пм.

Также известно явление макроскопической квантовой сверхтекучести, при котором вещество в целом проявляет квантовые эффекты. Это связано как раз с волнами де Бройля атомов, из которых состоит вещество.