Площадь - октаэдр: формулы и примеры
Правильный октаэдр - один из пяти платоновых тел в геометрии. Этот многогранник состоит из восьми равносторонних треугольников. Давайте разберемся, как найти площадь его поверхности с помощью простых формул и решения задач.
Что такое правильный октаэдр
Октаэдр - это многогранник, у которого:
- 8 граней в виде равносторонних треугольников
- 6 вершин
- 12 ребер одинаковой длины
В отличие от других многогранников, у октаэдра есть особая симметрия. Через каждые две вершины, не лежащие на одной грани, проходит плоскость симметрии. Всего таких плоскостей 6.
Октаэдр часто можно увидеть в архитектурных сооружениях благодаря его высокой прочности при малом расходе материала на грани.
Площадь октаэдра напрямую зависит от длины его ребра. Чем больше ребро - тем больше площадь. Рассмотрим, как вывести основную формулу для вычислений.
Вывод формулы площади поверхности октаэдра
Каждая грань октаэдра представляет собой равносторонний треугольник. Сторона треугольника равна длине ребра октаэдра, обозначим ее через а. Тогда площадь одного треугольника равна:
Sтр = √3/4 * a2
Поверхность октаэдра состоит из 8 таких треугольников. Значит, площадь октаэдр равна:
S = 8 * Sтр = 2*√3 * a2
Коэффициент 2 перед корнем появляется после упрощения дроби √3/4 * 8. Таким образом, мы получили основную формулу площадь октаэдр через длину ребра a.
| Длина ребра | 1 см | 5 см |
| Площадь поверхности | 2*√3 = 3,46 см2 | 2*√3 * 25 = 86,6 см2 |
Как видно из таблицы, при увеличении длины ребра в 5 раз площадь октаэдра возрастает в 25 раз.
Примеры вычисления площади октаэдра
Рассмотрим несколько примеров, как вычислить площадь октаэдр с конкретными значениями длины ребра.
-
Длина ребра октаэдра равна 10 см. Найдем площадь его поверхности:
Решение:
a = 10 см
S = 2*√3*a2 = 2*√3*102 = 200√3 см2
Ответ: 200√3 см2
-
Площадь поверхности октаэдра равна 300 см2. Найти длину ребра.
Решение:
S = 300 см2
300 = 2*√3*a2
a = √300/(2*√3) = 5 см
Ответ: 5 см
Другие формулы для октаэдра
Помимо основной формулы для вычисления площади поверхности, существуют и другие полезные формулы, связанные с октаэдром.
Объем октаэдра
Объем V октаэдра вычисляется по формуле:
V = (√2/3)*a3
Где a - длина ребра октаэдра.
Радиусы вписанной и описанной сферы
Радиус R вписанной сферы, которая касается всех граней октаэдра изнутри:
R = a√3/3
Радиус R описанной сферы, проходящей через все вершины снаружи:
R = a√2/2
Углы, диагонали, высота октаэдра
Изучение октаэдра подразумевает также знание его углов. К примеру, все двугранные углы при вершинах равны 109,47°. Диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам в точке пересечения. Высота октаэдра может быть найдена по теореме Пифагора.
Подобные октаэдры
Если ребра двух октаэдров относятся как a1:a2, то отношение их площадей поверхности будет равно (a1:a2)2, а объемов - (a1:a2)3. Это свойство подобия часто используется при решении задач.
Симметрия
Октаэдр обладает симметрией вращения Oh. Центр симметрии находится в точке пересечения его диагоналей. Элементы симметрии позволяют упростить вычисления при решении различных задач на этот многогранник.