Геометрия: теорема о накрест лежащих углах при параллельных прямых
Геометрия изучает различные фигуры и их свойства. Одним из фундаментальных свойств является равенство накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей. Это важное свойство часто используется при решении задач и доказательстве других теорем. Давайте разберемся с ним подробнее.
Определение накрест лежащих углов
Накрест лежащими называются два угла, образованные при пересечении двух прямых секущей, вершины которых лежат по разные стороны от секущей. На рисунке ниже накрест лежащие углы ∠1 и ∠2 образованы секущей c и прямыми a и b:
- У накрест лежащих углов общая сторона - секущая
- Вершины этих углов лежат по разные стороны от секущей
Накрест лежащими называются два угла с общей стороной-секущей и вершинами, лежащими по разные ее стороны. [1]
Формулировка теоремы
Теорема гласит: если две прямые пересекаются секущей, то накрест лежащие углы, образованные при этом, равны. Это так называемая прямая теорема.
Существует и обратная теорема : если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Разница в формулировках:
| Прямая теорема | Обратная теорема |
| Дано: параллельные прямые | Дано: равные накрест лежащие углы |
| Утверждение: накрест лежащие углы равны | Утверждение: прямые параллельны |
Для накрест лежащих углов ∠1 и ∠2 справедливо равенство:
∠1 = ∠2
Доказательство теоремы
Доказательство теоремы проводится методом от противного. Предположим, что при пересечении параллельных прямых a и b секущей c накрест лежащие углы ∠1 и ∠2 не равны. Через точку пересечения A проведем еще одну прямую d так, чтобы с прямой a образовался угол, равный углу ∠1. Тогда по признаку параллельности прямые a и d будут параллельны.
Однако из аксиомы параллельных прямых следует, что через точку A можно провести не более одной прямой, параллельной прямой a. Полученное противоречие опровергает наше предположение о неравенстве накрест лежащих углов. Значит, они равны.
При использовании этой теоремы для доказательства параллельности прямых рекомендуется:
- Внимательно рассмотреть чертеж, найти параллельные прямые и секущую
- Обозначить образованные накрест лежащие углы
- Записать, что эти углы равны по теореме
Теорема о накрест лежащих углах - один из важнейших фактов планиметрии, используется повсеместно. [2]
Применение теоремы
Рассмотрим несколько примеров использования теоремы о накрест лежащих углах:
Случаи применения теоремы:
- Доказательство параллельности двух прямых
- Нахождение углов при параллельных прямых
- Решение задач на вычисление, доказательство, построение с использованием свойства равенства накрест лежащих углов
В данной задаче требуется доказать, что прямые a и b параллельны. Пересечение прямой c образует с ними накрест лежащие углы ∠1 = 110° и ∠2. По теореме ∠2 = ∠1 = 110°. Значит, a и b параллельны по признаку параллельности.
При использовании теоремы для решения задач следует:
- Найти в условии параллельные прямые и секущую или предположить их параллельность
- Обозначить накрест лежащие углы и выразить их равенство
- Сделать вывод о параллельности прямых
Другие случаи применения теоремы
Кроме задач на доказательство параллельности, теорему о накрест лежащих углах можно использовать при решении задач на построение. Например, если требуется построить прямую, параллельную данной через некоторую точку. Согласно теореме, нужно из этой точки провести прямую так, чтобы с данной прямой образовался накрест лежащий угол, равный какому-либо из имеющихся на чертеже.
Связь теоремы с другими фактами геометрии
Из теоремы о накрест лежащих углах можно вывести теорему о сумме углов треугольника. Действительно, если одна сторона triangle пересекает две другие стороны, образуя с ними накрест лежащие углы, равные двум углам треугольника, то сумма этих накрест лежащих углов должна быть равна сумме углов треугольника, то есть 180°.
Обратные утверждения
Из обратной теоремы о накрест лежащих углах следует, что если при пересечении двух прямых углы окажутся равными, но не будут накрест лежащими, то прямые необязательно параллельны. Поэтому при решении задач важно различать именно накрест лежащие углы.
Открытые вопросы
Остается открытым вопрос, можно ли строго доказать теорему о накрест лежащих углах без использования метода от противного, то есть без допущения ложности обратного утверждения. Возможно, вы сумеете предложить такое доказательство?
Дальнейшее изучение вопроса
Мы разобрали основные моменты, связанные с теоремой о накрест лежащих углах. Но это далеко не все, что можно сказать об этом понятии. Рекомендую изучить дополнительную литературу по этой теме, решить задачи на применение теоремы. Это поможет еще глубже разобраться в этом важном вопросе геометрии.