Общее уравнение динамики: основы механики в одной формуле

Общее уравнение динамики - это фундаментальная формула теоретической механики, позволяющая описать движение любой механической системы с идеальными или неидеальными связями. Давайте разберемся, что это за формула, откуда она взялась и как ее можно использовать для решения инженерных задач.

Что такое общее уравнение динамики

Общее уравнение динамики выражает принцип Даламбера для движущихся систем и принцип возможных перемещений для систем в равновесии. Оно имеет следующий вид:

ΣδA + ΣδA_ин = 0

Здесь ΣδA - сумма работ активных сил системы на возможных перемещениях, ΣδA_ин - то же самое для сил инерции.

Другими словами, при движении системы сумма работ всех приложенных к ней сил на любом возможном перемещении равна нулю. Это общее уравнение позволяет получить дифференциальные уравнения движения для любой заданной конфигурации тел и связей.

Впервые это уравнение сформулировал Жозеф Луи Лагранж в 1788 году на основе работ Исаака Ньютона, Леонарда Эйлера и Жана Даламбера. С тех пор общее уравнение динамики стало одним из краеугольных камней теоретической механики наряду с законами Ньютона.

Применение общего уравнения динамики

Чтобы применить общее уравнение динамики для конкретной задачи, нужно:

1. Определить конфигурацию системы и степени свободы;
2. Задать действующие силы;
3. Выбрать систему координат и обобщенные координаты;
4. Записать работу сил на возможных перемещениях;
5. Приравнять сумму работ к нулю и решить уравнение.

Рассмотрим классический пример задачи. Блок массой m связан с грузом M при помощи нерастяжимой нити и движется по наклонной плоскости с углом наклона α под действием силы тяжести. Требуется найти ускорение блока a.

Применяем общее уравнение динамики:

ΣδA + ΣδA_ин = 0

Система имеет одну степень свободы - перемещение блока вдоль оси X. Выбираем эту ось в качестве обобщенной координаты. Единственной активной силой является сила тяжести G. Сила инерции блока F_ин = ma.

Записываем работу этих сил на возможном перемещении δx:

• A_G = 0, т.к. G ⊥ δx
• A_ин = F_ин × δx = ma × δx

Подставляем в уравнение динамики и получаем:

0 + ma δx = 0

a = g sinα

Вот так просто общее уравнение динамики позволяет получить искомое ускорение!

Принцип возможных перемещений

Давайте теперь разберемся, откуда в уравнении динамики взялись возможные перемещения. Они связаны с принципом возможных перемещений для систем в равновесии.

Этот принцип гласит, что для равновесия системы с идеальными связями сумма работ всех активных сил на любом возможном перемещении должна быть равна нулю:

ΣδA = 0

То есть если представить возможное "виртуальное" перемещение системы, то работа при этом не должна совершаться - иначе равновесие нарушится.

Принцип Даламбера

А как в эту историю вписывается принцип Даламбера? Он распространяет условие равновесия активных и инерционных сил на движущиеся системы:

ΣF + ΣF_ин = 0

Здесь ΣF - сумма активных сил, ΣF_ин - сумма сил инерции. Их равенство нулю выражает равновесие.

Вывод общего уравнения динамики

Объединяя эти два принципа - возможных перемещений и Даламбера - и записывая условия равновесия через работы сил, получаем как раз общее уравнение динамики:

ΣδA + ΣδA_ин = 0

Таким образом, оно выражает равенство нулю суммарной работы на возможных перемещениях для активных и инерционных сил движущейся системы.

Уравнение в обобщенных координатах

Для удобства общее уравнение динамики часто записывают в обобщенных координатах q_i. Тогда оно принимает вид системы уравнений:

ΣQ_i + ΣQ_ии = 0

Здесь Q_i и Q_ии - обобщенные активные и инерционные силы для каждой обобщенной координаты q_i. Эта форма записи позволяет получить уравнения Лагранжа 2-го рода для движения механической системы.

Связь с уравнениями Лагранжа

Давайте теперь разберем, как общее уравнение динамики связано с уравнениями Лагранжа. Как мы выяснили, записав его в обобщенных координатах, получаем систему вида:

ΣQ_i + ΣQ_ии = 0

А уравнения Лагранжа 2-го рода имеют следующий вид:

d/dt(∂T/∂q̇i) - ∂T/∂qi = Q_i

Здесь T - кинетическая энергия системы, q_i и q̇_i - обобщенные координаты и скорости. Получают их путем дифференцирования лагранжиана системы по обобщенным скоростям.

Кинетическая и потенциальная энергия

Лагранжиан же определяется через кинетическую T и потенциальную V энергии системы так:

L = T - V

При этом для консервативных систем обобщенная сила Q_i численно равна производной от потенциальной энергии V по соответствующей обобщенной координате q_i:

Q_i = -∂V/∂q_i

Таким образом, метод Лагранжа позволяет найти обобщенные силы для консервативных систем и подставить их в общее уравнение динамики, не вычисляя явно работы на возможных перемещениях. Это значительно упрощает решение многих задач!

Лагранжиан математического маятника

Для математического маятника введем обобщенную координату - угол отклонения стержня φ. Тогда кинетическая энергия равна:

T = (1/2)ml2φ̇2

А потенциальная энергия в однородном поле тяготения:

V = mgl(1 - cosφ)

Лагранжиан системы запишется так:

L = T - V = (1/2)ml2φ̇2 + mglcosφ

Уравнение движения маятника

Дифференцируя лагранжиан по скорости φ̇ и координате φ, получим уравнение Лагранжа:

ml2φ̈ + mgl sinφ = 0

Это и есть искомое дифференциальное уравнение колебаний математического маятника. Получили его, не вычисляя явно работы сил!

Области применения метода

Таким образом, метод Лагранжа оказывается очень эффективным при решении различных задач механики:

• Колебания маятников, мостов, ферм;
• Вращение твердых тел;
• Движение жидкостей и газов.

При этом для неконсервативных систем с силами трения приходится все же прибегать к общему уравнению динамики и прямому подсчету работ.

В статье мы рассмотрели общее уравнение динамики - одну из фундаментальных формул теоретической механики, позволяющих получить дифференциальные уравнения движения для механической системы на основе принципа Даламбера и принципа возможных перемещений. Подробно разобрали физический смысл и вывод уравнения, алгоритм его применения для решения инженерных задач, связь с уравнениями Лагранжа и метод Лагранжа для консервативных систем.