Тайна внешних углов треугольника
Треугольник кажется такой простой фигурой, но при ближайшем рассмотрении он таит в себе множество загадок. Особенно это касается его внешних углов - области геометрии, которая часто упускается из виду. Давайте заглянем за завесу этих тайн и откроем для себя удивительные свойства внешних углов треугольника!
Что такое внешний угол треугольника
Для начала давайте разберемся, что из себя представляет внешний угол треугольника. Это угол, образованный продолжением одной из сторон треугольника и прилегающей к ней стороной:
Как видно из рисунка, внешний угол 1 находится снаружи треугольника ABC. Он образуется при продолжении стороны AB.
У каждого треугольника можно построить два внешних угла при каждой вершине - по одному для каждой выходящей из данной вершины стороны. Например, при вершине B можно продолжить стороны AB и BC и получить два равных внешних угла ∠1 и ∠2:
Таким образом, всего у любого треугольника можно построить 6 внешних углов.
Основное свойство внешних углов
Самое главное и удивительное свойство внешних углов треугольника заключается в следующем:
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Это утверждение известно как теорема о внешнем угле треугольника. Давайте докажем ее.
Рассмотрим произвольный треугольник ABC и внешний угол ∠1, построенный при вершине C путем продолжения стороны AB:
Согласно теореме:
∠1 = ∠A + ∠B
Доказательство:
- Сумма всех внутренних углов треугольника равна 180° (это одна из основных теорем геометрии)
- Внешний и внутренний углы при одной вершине являются смежными. Следовательно, их сумма также равна 180°
- Подставляя эти два факта в уравнение, получаем нужное равенство
Q.E.D.
Теорема о внешнем угле треугольника - один из фундаментальный законов геометрии. При решении множества задач нужно знать и уметь применять это свойство внешних углов.
Сравнение внутренних и внешних углов
Из теоремы о внешнем угле также следует, что внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним:
Внешний угол > внутренний угол
В самом деле, внешний угол равен сумме двух других внутренних углов. Значит, он обязательно больше любого из них в отдельности!
Наглядно это можно проиллюстрировать на числовом примере. Допустим, в некотором треугольнике два внутренних угла равны 30° и 60°. Их сумма составляет 30° + 60° = 90°. Согласно теореме, внешний угол при третьей вершине также будет равен 90°, что явно больше каждого из рассматриваемых внутренних углов.
Это свойство часто используется при доказательствах в геометрии. Например, оно помогает быстро установить, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, не выполняя дополнительных построений.
Рассмотрим несколько примеров того, как свойства внешних углов применяются на практике при решении геометрических задач.
Пример 1
В треугольнике ABC угол A равен 35°, а внешний угол при вершине B равен 85°. Найдите углы B и C.
Решение:
По теореме о внешнем угле:
Внешний угол = Сумма внутренних углов, не смежных с ним
Подставляя данные, получаем:
- 85° (внешний угол при B) = A + C
- A = 35° (дано)
Отсюда:
85° = 35° + C
C = 85° - 35° = 50°
Так как сумма всех углов треугольника = 180°, находим:
35° + C + B = 180° 35° + 50° + B = 180° B = 180° - 85° = 95°
Ответ: B = 95°, C = 50°.
Пример 2
Дан треугольник ABC. Найдите x, если известно, что:
- BC = 9 см
- AC = 12 см
- Внешний угол при вершине A равен 111°
- x - биссектриса угла BAC
| Решение: |
| Воспользуемся теоремой о биссектрисе треугольника: BC2 = AB × AC |
| Где AB можно найти из теоремы о внешнем угле: Внешний угол = Сумма внутренних не смежных углов 111° = AB̂C + BÂC |
| AB = 111° - BÂC Так как BÂC - это биссектриса, BÂC = 1⁄2 B = x/2 AB = 111° - x/2 |
| Подставляем это выражение для AB в теорему для биссектрисы: BC2 = (111° - x/2) × AC 92 = (111° - x/2) × 12 |
| Решаем полученное уравнение относительно x: x = 70° |
Ответ: x = 70°.
Как видно из примеров, внешние углы треугольника позволяют элегантно решать много задач, в том числе с применением других теорем и свойств.
Биссектриса внешнего угла треугольника
Давайте теперь более подробно рассмотрим такой интересный объект, как биссектриса внешнего угла треугольника.
Напомним, что биссектриса угла - это луч, делящий угол пополам. Для внешнего угла треугольника он также делит этот угол на две равные части.
Оказывается, этот луч обладает замечательным свойством:
Биссектриса внешнего угла треугольника всегда перпендикулярна биссектрисе внутреннего угла при той же вершине.
Это можно строго доказать с помощью геометрических построений. На практике такое свойство используется довольно редко, однако оно является еще одним примером удивительных "секретов", которые скрывает в себе внешний угол.
Вычисление внешнего угла треугольника
Мы уже знаем, что величина внешнего угла треугольника равна сумме двух внутренних, не смежных с ним углов. Но как найти эти внутренние углы, если они неизвестны?
В таких случаях на помощь приходит теорема о сумме углов треугольника: сумма всех трех внутренних углов любого треугольника равна 180°.
Зная хотя бы один внутренний угол, эту теорему можно использовать для нахождения остальных двух. А затем вычислить величину искомого внешнего угла как их сумму.
Внешние углы в равнобедренном треугольнике
Давайте теперь более детально разберем внешние углы в равнобедренном треугольнике. Как известно, в таком треугольнике две стороны равны.
В равнобедренном треугольнике внешний угол при вершине, противоположной основанию, равен сумме двух острых (приосновных) углов. А каждый из этих острых углов равен половине тупого угла при основании треугольника.
Таким образом, мы имеем следующую формулу:
Внешний угол равнобедренного треугольника равен тупому углу этого треугольника.
Зная это, по величине внешнего угла можно определить тупой угол равнобедренного треугольника и наоборот.
Применение внешних углов при построении фигур
Свойства внешних углов находят полезное применение при построении разных геометрических фигур. Рассмотрим один из практических примеров.
Дано: требуется построить на луче прямоугольник с заданным значением угла. Как это можно сделать, используя внешние углы треугольников?
- Строим произвольный луч
- Выбираем на нем точку A
- Из точки A строим перпендикуляр к данному лучу - получаем угол 90°
- Достраиваем треугольник ABC с требуемым углом C
- Строим внешний угол к треугольнику ABC при вершине B. По теореме о внешнем угле он будет равен 90°
- Проводим прямую BD перпендикулярно продолжению стороны AC через точку B
- Получили искомый прямоугольник ABCD с заданным углом ABC
Как видно из этого примера, внешние углы треугольников могут с успехом использоваться для построения более сложных фигур.