Как раскрывать скобки в квадрате: правила и примеры

Умение раскрывать скобки - это базовый навык, необходимый для решения многих математических задач. Без знания правил и формул раскрытия скобок невозможно получать хорошие оценки по algebra и готовиться к ЕГЭ.

Основные правила раскрытия скобок

Раскрытие скобок означает замену выражения, записанного со скобками, на равное ему выражение без скобок. Существует 4 основных правила:

1. Если перед скобкой стоит "+" (плюс), то все числа в скобках сохраняют свой знак:

a + (-b + c - d) = a - b + c - d

Пример:

16 + (10 - 15) = 16 + 10 - 15 = 11

1. Если перед скобкой "-" (минус), то знаки чисел меняются на противоположные:

a - (-b + c - d) = a + b - c + d

Пример:

16 - (10 - 15) = 16 - 10 + 15 = 21

1. При умножении каждое число в скобках умножается на множитель:

-a(-b + c - d) = ab - ac + ad

Пример:

-3 · (-5 + 2x) = 15 - 6x

1. При делении каждое число делится на числитель:

(a - b) : c = (a : c) - (b : c)

Пример:

(3a - 21) : -3 = -a + 7

Таким образом, скобки раскрываются согласно свойствам арифметических действий. Это основа, знать которую просто необходимо.

Формулы сокращенного умножения (ФСУ)

Помимо 4 базовых правил, существуют также формулы сокращенного умножения (ФСУ). Они позволяют быстро раскрывать скобки, не прибегая к длинным вычислениям. ФСУ нужно обязательно выучить.

Вот основные формулы, которые пригодятся:

Чтобы легче запомнить, можно использовать метод аналогии. К примеру, формулы квадрата суммы и квадрата разности очень похожи - разница лишь в знаке "плюс/минус".

Еще есть несколько полезных формул, например разности кубов или суммы кубов. Их тоже имеет смысл выучить.

Примеры раскрытия скобок в квадрате

Давайте теперь разберем конкретные примеры с использованием формул и правил.

Например, нужно упростить выражение:

(3x - 2y)2

Применим формулу квадрата разности. Получаем:

= (3x)2 - 2·3x·2y + (2y)2

= 9x2 - 12xy + 4y2

Еще пример - найдем значение:

(5 - 3x)2 - 4(x2 - x)

Сначала раскроем скобки с помощью формул квадрата суммы и разности, приведем подобные, сократим дробь:

= 25 - 30x + 9x2 - 4x2 + 4x

= 25 - 26x + 5x

= 5

Разбор типовых заданий ЕГЭ

Рассмотрим несколько примеров заданий ЕГЭ, где требуется умение раскрывать скобки в квадрате.

Например, дано выражение:

(x + 3y - 4)2

Для начала раскроем скобки, воспользовавшись формулой квадрата суммы. Получим:

= x2 + 6xy + 9y2 - 8x - 24y + 16

Затем приведем подобные слагаемые и запишем ответ:

= x2 + 6xy + 9y2 - 8x - 24y + 16

Практические советы по раскрытию скобок

Чтобы научиться быстро и правильно раскрывать скобки в квадрате, следуйте этим рекомендациям:

1. Тренируйтесь на простых примерах с проверкой в калькуляторе
2. Используйте таблицу формул сокращенного умножения (ФСУ)
3. Проговаривайте вслух правила и формулы
4. Разбирайте пошагово задания ЕГЭ по данной теме
5. Обращайтесь за помощью к репетитору по математике

Раскрытие скобок можно сравнить с распаковкой подарка. Сначала нужно аккуратно "развернуть" наружные скобки, затем внутренние. И в конце обнаруживается долгожданный "подарок" - простое выражение без скобок!

Как избежать типичных ошибок

Чтобы не допускать ошибок при раскрытии скобок в квадрате, важно:

• Не путать порядок действий
• Правильно определять, какая формула или правило применимы в конкретном случае
• Не пропускать этап приведения подобных слагаемых

Следование этим несложным рекомендациям поможет избежать распространенных ошибок.

Пошаговый алгоритм раскрытия скобок

Чтобы свести к минимуму вероятность ошибок, имеет смысл придерживаться определенного алгоритма действий при раскрытии скобок:

1. Определить тип скобок (со знаком "+", "-", с множителем) и запомнить нужное правило
2. Записать общую формулу для данного правила раскрытия скобок рядом с исходным выражением
3. Подставить конкретные числа или переменные в эту формулу
4. Выполнить необходимые действия с числами и переменными
5. При наличии подобных слагаемых обязательно их привести

Следуя этим шагам, можно минимизировать вероятность ошибки.

Полезные мнемонические правила

Чтобы легче запомнить порядок действий при раскрытии разных типов скобок, можно использовать такие мнемонические правила:

• Со знаком "+": Плюсы Сохраняй
• Со знаком "-": Минусы Меняй
• С множителем: Числа Умножай

Типичные ошибки и их исправление

Рассмотрим на примерах, каким образом можно обнаружить и исправить типичные ошибки при раскрытии скобок:

1. Неправильный порядок действий:

   3(x + 2) = 3x + 2 (неверно)

   3(x + 2) = 3x + 6 (верно)

2. Пропущен этап приведения подобных:

   (a + b)2 = a2 + 2ab (неверно)

   (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (верно)

Полезные online-ресурсы

Вот несколько полезных онлайн-ресурсов, которые помогут отточить навык раскрытия скобок:

• Интерактивные тренажеры и конструкторы примеров
• Видео-уроки на образовательных каналах
• Специальные мобильные приложения для тренировки