Формулы Кардано для нахождения корней канонической формы кубического уравнения

Кубические уравнения - важный класс математических уравнений с широким применением в науке и технике. Увлекательная история открытия формул для их решения, интриги и споры ученых за право авторства. Как найти все корни кубического уравнения с помощью знаменитых формул Кардано?

Постановка задачи

Кубическими называются алгебраические уравнения вида:

ax³ + bx² + cx + d = 0

где a, b, c, d — заданные числа, а x — искомая переменная. Такие уравнения часто возникают при математическом моделировании различных физических, химических, биологических и других процессов и явлений.

• В физике кубические уравнения описывают поведение газов, движение тел в вязкой среде.
• В химии с их помощью моделируют кинетику химических реакций, равновесие в растворах.
• В экономике кубические модели используются в теории предельной полезности, при оценке инвестиционной привлекательности проектов.

Задача состоит в том, чтобы для произвольного кубического уравнения с действительными коэффициентами найти все три его корня (с учетом кратных) в виде формул, выражающих корни через коэффициенты уравнения.

Краткая предыстория

Первые известные попытки решить кубические уравнения относятся к Средним векам. Ученые того времени смогли с помощью геометрических построений находить положительные решения некоторых частных случаев таких уравнений. Однако общий метод решения произвольного кубического уравнения долгое время оставался неизвестным.

Около 1530 года итальянский математик Никколо Тарталья (1499-1557) заявил, что открыл метод решения любых кубических уравнений. Однако он хранил свой метод в строгом секрете, сообщив лишь некоторые результаты.

В 1539 году Тарталья поделился частью своего открытия с другим итальянским ученым Джероламо Кардано (1501-1576) с условием сохранения тайны. Однако спустя 6 лет, в 1545 году Кардано опубликовал в своей книге "Великое искусство" метод решения кубических уравнений, ныне носящий его имя.

Это вызвало скандал и обвинения Кардано в плагиате со стороны Тартальи, что привело к многолетней вражде ученых. С тех пор ведутся споры о том, кто же первооткрыватель метода - Тарталья, Кардано или может быть даже Сципион дель Ферро, у которого, возможно, позаимствовал его Тарталья.

Приведение уравнения к каноническому виду

Итак, задано произвольное кубическое уравнение:

ax³ + bx² + cx + d = 0

Чтобы применить для его решения формулы Кардано, необходимо сначала привести это уравнение к более простому каноническому виду:

y³ + py + q = 0

в котором отсутствует член со второй степенью переменной. Для этого выполним следующие преобразования:

1. Разделим все члены исходного уравнения на ведущий коэффициент a:
2. Заменим переменную x на y с помощью формулы:

   x = y - \frac{b}{3a}

3. В результате подстановки этого выражения для x в преобразованное уравнение получим каноническое кубическое уравнение относительно переменной y.

В итоге коэффициенты p и q канонического уравнения будут выражаться через коэффициенты исходного уравнения следующим образом:

Далее решать уже приведенное каноническому виду уравнение с помощью формул Кардано.

Решение канонического уравнения методом Тартальи

Итак, теперь задано каноническое кубическое уравнение:

y³ + py + q = 0

Согласно методу, предложенному Тартальей, будем искать его решение в виде:

y = t - \frac{p}{3t}

где t - новая переменная. Подставляя это выражение для y в исходное уравнение и выполняя преобразования, придем к квадратному уравнению:

t^2 + \frac{q}{t} = 0

решение которого даст значения переменной t, а затем по приведенной формуле и значения искомой переменной y, являющиеся корнями кубического уравнения.

Решая полученное квадратное уравнение, находим:

t = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}

t = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}

Подставляя найденные значения t в формулу для переменной y, получаем формулы Кардано, дающие решение исходного кубического уравнения:

y_1 = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} - \frac{p}{3\sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}}

y_2 = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} - \frac{p}{3\sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}}

Заметим, что на самом деле эти два выражения для корня y дают одно и то же значение. Поэтому формулу Кардано можно записать в более простом виде:

y = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\Delta}} - \frac{p}{3\sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\Delta}}}

где \Delta = \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}. Подставляя найденное по этой формуле значение y в формулу замены исходной переменной x = y - \frac{b}{3a}, получим решение для переменной x, т.е. корень исходного кубического уравнения.

Анализ действительности корней

Полученная формула Кардано дает решение кубического уравнения в общем виде. Однако на практике часто требуется определить, являются ли найденные по ней корни действительными числами или они комплексные.

Для этого необходимо проанализировать знак величины:

\Delta = \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}

Если \Delta > 0, то подкоренное выражение в формуле Кардано положительно и, следовательно, корни действительны. Рассмотрим этот случай подробнее.

Случай положительного дискриминанта

При \Delta > 0 обозначим через \alpha и \beta действительные кубические корни из выражений:

\alpha = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\Delta}}

\beta = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\Delta}}

Тогда формула Кардано даст три действительных корня исходного уравнения:

x_1 = \alpha - \frac{p}{3\alpha}

x_2 = \omega\alpha - \frac{p}{3\omega\alpha}

x_3 = \omega^2\alpha - \frac{p}{3\omega^2\alpha}

где \omega = e^{2\pi i / 3} - кубический корень из единицы.

Случай отрицательного дискриминанта

Если же \Delta < 0, то выражение под корнем в формуле Кардано отрицательно. В этом случае \alpha и \beta будут комплексно сопряженными кубическими корнями.

Тем не менее, подставляя их в формулу Кардано, можно получить три действительных решения исходного кубического уравнения. Для этого значения \alpha и \beta должны удовлетворять соотношению:

\alpha\beta = -\frac{q}{3}

Особенности кратных корней

Рассмотренный метод решения справедлив и для случая, когда кубическое уравнение имеет кратные корни. Однако для таких ситуаций существуют упрощенные модификации формулы Кардано.

Например, если уравнение имеет два кратных корня, то \Delta = 0. В этом случае решение записывается проще:

x_1 = x_2 = -\frac{p}{3}

x_3 = \sqrt[3]{-\frac{q^2}{2} - \frac{p^3}{27}} - \frac{p}{3}

А если все три корня кратные, то \Delta < 0 и p = q = 0. Тогда единственным корнем является 0.

Программная реализация

Рассмотренный алгоритм решения кубических уравнений по формуле Кардано можно запрограммировать на любом языке программирования. Для этого составим блок-схему вычислений:

1. Ввод исходных коэффициентов a, b, c, d
2. Нахождение коэффициентов p и q канонического уравнения
3. Вычисление дискриминанта \Delta
4. Анализ знака \Delta и выбор соответствующей формулы Кардано
5. Подстановка найденных корней канонического уравнения в формулу замены переменной
6. Возврат полученных корней исходного уравнения

Реализация этого алгоритма на языке Python может выглядеть так:

Историческая справедливость

Несмотря на то, что рассмотренный метод решения кубических уравнений традиционно называют "формулой Кардано", с исторической точки зрения это название не совсем справедливо.

Во-первых, сама идея замены переменной, позволившая свести кубическое уравнение к квадратному, принадлежит Никколо Тарталье. Именно он придумал хитроумный способ "ограбить куб с помощью квадрата".

По словам Джероламо Кардано, он лишь удачно "подсмотрел" этот метод у Тартальи.

Во-вторых, предшественниками Кардано в попытках решить кубические уравнения были и другие математики.

Предшественники Кардано

Еще в начале XVI века итальянский математик Сципион дель Ферро смог решать некоторые частные случаи кубических уравнений. Возможно, именно его записи и послужили для Тартальи отправной точкой в открытии общего метода.

Арабский математик Аль-Каши еще в XV веке использовал для приближенного решения кубических уравнений итерационные методы, близкие по идее к современному методу Ньютона.

Приоритет Кардано

Бесспорная заслуга Кардано состоит в том, что:

• Он сумел разгадать секретный метод Тартальи и довести его до универсального алгоритма, годного для любых кубических уравнений.
• Он впервые опубликовал этот метод, изложив его в доступной для понимания форме формул.
• Он проанализировал особенности получаемых решений в зависимости от знака дискриминанта.

Поэтому ученые считают, что наиболее правильно было бы называть этот метод решения кубических уравнений методом Тартальи-Кардано. Но в разговорной речи чаще используют термин "формулы Кардано".