Угол, вписанный в окружность: свойства и теоремы
Вписанные углы - важная тема в геометрии, без знания которой не обойтись при решении многих задач и доказательстве теорем. Давайте разберемся в их удивительных свойствах!
Определение вписанного угла
Для начала дадим определения основных понятий:
- Окружность - замкнутая кривая, все точки которой равноудалены от заданной точки (центра).
- Радиус - отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на ней.
- Диаметр - отрезок, проходящий через центр окружности и соединяющий две точки на ней.
- Хорда - отрезок, соединяющий две точки на окружности.
- Дуга - часть окружности, ограниченная двумя точками на ней.
- Центральный угол - угол с вершиной в центре окружности.
- Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.
Давайте запомним это определение, оно ключевое для понимания дальнейшего материала.
На рисунке ниже представлен пример угла, вписанного в окружность:
Свойства вписанных углов
Угол, вписанный в окружность, обладает удивительными свойствами, позволяющими эффективно решать многие задачи. Давайте рассмотрим их подробнее.
Связь вписанного и центрального углов
Одно из важнейших свойств:
Величина вписанного угла в два раза меньше величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Это легко доказать с помощью элементарной геометрии. Как найти угол, вписанный в окружность? Достаточно измерить центральный угол и разделить его пополам!
Равенство вписанных углов
Еще один важный факт:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Это следует из предыдущего свойства: если центральный угол один и тот же, то вписанные углы тоже будут равны.
Теорема о произведении отрезков хорд
Одной из важнейших теорем, связанных с вписанными углами, является:
Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.
Математически это можно записать так:
AE · EB = CE · ED
Где AE, EB - отрезки одной хорды, CE, ED - отрезки другой.
Применение теоремы на практике
Давайте разберем задачу, где применяется теорема о произведении отрезков хорд:
Имеем две пересекающиеся хорды AB и CD. Нужно найти отрезок BD. Применим теорему:
AE · EB = CE · ED
Подставляя известные значения, получаем:
2 · BD = 3 · 4
Отсюда находим искомый отрезок:
BD = 6
Нахождение вписанных углов в треугольнике
Рассмотрим вписанный угол в треугольник ABC, опирающийся на дугу AB.
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. А центральный угол измеряется дугой BC. Значит, искомый угол равен половине дуги BC.
Таким образом, величина вписанного угла в окружность зависит от величины соответствующей дуги.
Применение касательной к окружности
Интересный случай возникает, когда одна из сторон вписанного угла является касательной к окружности. Тогда этот угол всегда прямой!
Это следует из того, что касательная перпендикулярна радиусу. Соответственно, центральный угол будет развернутый и равен 180 градусов. А значит, вписанный угол, опирающийся на полуокружность, - прямой.
Свойства хорд
Помимо теоремы о произведении отрезков, для хорд справедливы следующие утверждения:
- Равные центральные углы опираются на равные хорды
- Равные вписанные углы опираются на равные хорды
- Равные хорды охватывают равные дуги окружности
Эти свойства часто используются для решения различных задач с хордами и вписанными углами.
Применение свойств на практике
Знание свойств вписанных углов позволяет эффективно решать целый класс задач, встречающихся как на экзаменах, так и в реальных инженерных приложениях.
Рассмотрим несколько примеров.
Задачи на нахождение вписанного угла
Рассмотрим классический пример задачи на нахождение вписанного угла:
Дана окружность и точки A и B на ней. Требуется найти вписанный угол ABC, опирающийся на хорду AB. По определению, этот угол равен половине центрального угла AOB:
∠ABC = 0.5·∠AOB
Центральный угол AOB, в свою очередь, равен дуге AB. Зная ее градусную меру (140°), можем вычислить искомый угол:
∠ABC = 0.5·140° = 70°
Ответ: 70 градусов.
Применение в тригонометрии
Свойства вписанных углов часто используются в тригонометрии - разделе математики, изучающем соотношения между сторонами и углами в треугольнике.
Например, нужно найти неизвестную сторону треугольника. Если один из углов является вписанным, то его величину можно легко выразить через дугу окружности. Это позволяет применить тригонометрические формулы и найти искомый элемент.
Построение правильных многоугольников
Свойства вписанных углов применяются также при построении правильных многоугольников - фигур, у которых все стороны и углы равны.
Например, для построения правильного шестиугольника достаточно:
- Начертить окружность произвольного радиуса
- Разделить ее на 6 равных дуг
- Соединить точки деления хордами
Полученный шестиугольник будет правильным, так как все вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, тоже равны.
Применение в физике
Свойства вписанного угла используются также в физических приложениях - например, при расчете оптических систем, движения частиц в магнитном поле и др.
Зная радиус кривизны траектории частицы и величину вписанного угла, можно рассчитать центростремительное ускорение и другие важные характеристики.
Применение в астрономии
Интересные приложения свойств вписанных углов есть и в астрономии. Например, для вычисления расстояний до недоступных для прямых измерений небесных объектов.
Метод заключается в измерении углов между объектом и двумя известными опорными точками в момент максимального удаления Земли от них. Зная эти углы и радиус орбиты Земли, можно вычислить искомое расстояние.