Признаки Дирихле для распознавания сходимости функциональных рядов

Математический анализ изучает поведение функций. Часто бывает важно определить, сходится функциональный ряд или нет. В статье рассматриваются эффективные критерии, позволяющие делать такие выводы. Эти признаки получили название по именам выдающихся математиков.

Признак Дирихле

Немецкий математик Лежен Дирихле внес большой вклад в теорию функций и рядов. В 1829 году он сформулировал условия сходимости интегралов и рядов, получившие название признака Дирихле .

Пусть функция f(x) интегрируема на интервале [a,b], а функция g(x) монотонно стремится к нулю при x→b. Тогда интеграл ∫ab f(x)g(x)dx сходится.

Аналогичные условия можно сформулировать и для рядов. Если частичные суммы ряда ограничены, а знаменатель стремится к нулю, то ряд тоже сходится.

На рисунке проиллюстрирована идея признака Дирихле для интегралов. Площадь под кривой ограничена сверху прямоугольником. При стремлении предела интегрирования к бесконечности высота прямоугольника стремится к нулю, что гарантирует конечность площади.

Пример применения признака Дирихле

Рассмотрим ряд ∑n=1∞ \frac{1}{n^2+n}. Здесь знаменатель стремится к бесконечности при n→∞. А частичные суммы ряда можно оценить:

• Для любого n выполняется n^2 + n ≥ n
• Тогда ∑k=1n \frac{1}{k} ≥ ∑k=1n \frac{1}{k^2+k}
• Но ряд ∑k=1∞ \frac{1}{k} сходится
• Значит, частичные суммы исходного ряда тоже ограничены

Применив признак Дирихле , мы вывели сходимость данного ряда.

Связь с признаком Лейбница

Существует частный случай признака Дирихле для знакочередующихся рядов. Он известен как признак Лейбница. Его условия:

1. Знаменатель ряда стремится к нулю
2. Частичные суммы ряда ограничены

То есть здесь даже не требуется монотонность знаменателя, а ряд может менять знаки. Этот частный случай часто используется для исследования знакопеременных рядов.

Неравенство Абеля и признак Абеля

Выдающийся норвежский математик Нильс Абель также внес вклад в теорию рядов в начале 19 века. Он доказал преобразование частичных сумм ряда, названное его именем. С его помощью выводится неравенство Абеля :

|∑k=mn akbk| ≤ |a_m||b_n|

Это неравенство позволяет оценить частичные суммы произвольного ряда и сформулировать признак Абеля : если ряд ∑ an сходится, а последовательность {bn} монотонна и ограничена, то ряд ∑ anbn тоже сходится.

Как видно из таблицы, признак Абеля имеет более жесткое условие на ряд ∑ an, зато требование к {bn} слабее, чем в признаке Дирихле .

Применение преобразования Абеля

Помимо неравенства и признака, Абель ввел удобное преобразование рядов, позволяющее перегруппировывать слагаемые. Оно часто используется в доказательствах сходимости:

Здесь суммы берутся от любого члена с номером m до члена с номером n. Преобразование Абеля удобно применять к двойным рядам. Например, так можно получить формулу для ряда косинусов:

• cos(x) = ∑k=0∞ \frac{(-1)k x2k}{(2k)!}
• Преобразуем ряд: ∑k=0∞ \frac{(-1)k x2k}{(2k)!} = 1 + x2∑k=1∞ \frac{(-1)k x2(k-1)}{(2k)!}
• Заменяем k на k+1 во втором ряде: = 1 - x2∑k=0∞ \frac{(-1)k x2k}{(2k+2)!}

Группируя ряды, приходим к формуле для cos(x). Аналогично можно получить выражение и для sin(x).

Интеграл Абеля

Существует интересная связь между преобразованием Абеля и определенным интегралом. Это соотношение иногда называют интегралом Абеля . Оно позволяет выразить конечную сумму через интеграл и наоборот. Геометрически интеграл Абеля представляет площадь под ступенчатой кривой.

Критерий Абеля-Дирихле

Признаки Абеля и Дирихле можно объединить в один обобщенный критерий Абеля-Дирихле:

• Ряд ∑a_n сходится
• {b_n} монотонна и ограничена
• ∑a_nb_n сходится

Этот критерий применим к более широкому классу рядов, чем каждый признак по отдельности. Рассмотрим пример:

Пример применения критерия

Дан ряд ∑_n=1^∞ \frac{(-1)ⁿlog n}{n^1.5}. Здесь знаменатель степенной, поэтому ряд ∑\frac{1}{n^1.5} сходится. Логарифмический множитель ограничен, так как 0 < log n < n. По критерию Абеля-Дирихле исходный ряд тоже сходится.

Оценка остатка по критерию

Из условий критерия Абеля-Дирихле можно получить оценку остатка ряда. M - число, ограничивающее последовательность {b_n}. Эта оценка позволяет приближать сумму ряда с нужной точностью за счет увеличения числа слагаемых.