Свойства трапеции: информация 8 класса

Трапеция является одной из важнейших тем школьного курса геометрии в 8 классе. Знание свойств этого четырехугольника необходимо для решения множества задач ЕГЭ и олимпиад. В данной статье мы подробно разберем, что такое трапеция, какие бывают ее виды и какие формулы используются для вычисления площади.

Будут рассмотрены конкретные примеры задач на нахождение углов, сторон, диагоналей трапеции. Также приведены визуальные иллюстрации для наглядности.

Определение и элементы трапеции

Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Это один из основных видов четырехугольников, изучаемых в 8 классе. Трапеция имеет следующие основные элементы:

• Основания - две параллельные стороны трапеции обозначаются буквами a и b.
• Боковые стороны - две непараллельные стороны трапеции обозначаются буквами c и d.
• Диагонали - отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции.

Важное свойство трапеции заключается в том, что сумма внутренних углов при одной боковой стороне равна 180° (∠A + ∠B = 180°). Это вытекает из параллельности оснований. Также справедливо равенство ∠C + ∠D = 180°.

Кроме того, у трапеции можно провести среднюю линию - отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Эта линия параллельна основаниям и равна полусумме оснований. Например, если основания равны a и b, то средняя линия m = (a + b) / 2.

Таким образом, трапеция - это четырехугольник с двумя параллельными сторонами, обладающий рядом интересных свойств. Знание определения, элементов и формул помогает решать множество задач на вычисление углов, сторон и площадей данного вида четырехугольников.

Свойства и формулы площади

Помимо основных элементов, трапеция обладает множеством интересных свойств, позволяющих вычислять ее углы, стороны и площадь. Рассмотрим некоторые из них подробнее.

Одно из важнейших свойств трапеции - теорема о средней линии. Она гласит, что средняя линия параллельна основаниям и равна полусумме оснований. Это позволяет по известным основаниям a и b легко найти длину средней линии m = (a + b) / 2. Применение теоремы Фалеса дает еще один результат: отрезки, отсеченные параллельными прямыми на боковых сторонах трапеции, пропорциональны между собой.

Для вычисления углов трапеции используется свойство: сумма углов при одной боковой стороне равна 180°. Это следует из параллельности оснований. Например, если известен один угол ∠A, то ∠B = 180° - ∠A. Аналогично для другой пары углов ∠C и ∠D.

Чтобы найти длину боковой стороны трапеции, применяют теорему о пропорциональных отрезках. Пусть b - известное основание, a c - искомая боковая сторона. Проводим параллельную прямую через точку C. По теореме Фалеса получаем: c / d = B / b, откуда c = (B * b) / d.

Для вычисления площади трапеции используют несколько формул:

1. S = ((a + b) / 2) * h, где a и b - основания, h - высота.
2. S = m * h, где m - средняя линия, h - высота.
3. S = (AC * BD * sinα) / 2, где AC и BD - диагонали, α - угол между ними.

Первая формула является основной для вычисления площади трапеции. Она легко выводится из свойства средней линии. Вторая формула эквивалентна первой и следует из нее подстановкой значения средней линии m. Третья формула получается с помощью теоремы синусов, примененной к треугольнику, образованному диагоналями трапеции и ее боковыми сторонами.

Также существует формула площади трапеции через радиусы вписанной и описанной окружностей: S = (R в - R о) * (a + b) / 2, где R в и R о - радиусы вписанной и описанной окружностей. Она позволяет находить площадь, не зная высоты трапеции.

Кроме того, в задачах на вычисление площади часто используют разбиение трапеции на известные фигуры - треугольники, прямоугольники и др. Это дает возможность применить соответствующие формулы для каждой части.

Примеры типовых задач с трапецией

Рассмотрим несколько примеров типовых задач на применение свойств трапеции из курса геометрии 8 класса. Их решение поможет лучше усвоить формулы и теоремы данной темы.

Пример 1. В трапеции ABCD известно: ∠A = 50°, AB = 8 см, BC = 10 см. Найдите ∠B, ∠C, ∠D и CD.

Решение. По свойству углов трапеции имеем: ∠A + ∠B = 180°.

∠B = 180° - 50° = 130°.

Аналогично, ∠C + ∠D = 180°.

Тогда ∠C = 180° - ∠B = 180° - 130° = 50°.

И ∠D = 180° - ∠A = 180° - 50° = 130°.

Чтобы найти CD, проводим через точку C прямую параллельную AB и применяем теорему Фалеса:

CD / BC = AB / AD

откуда CD = (AB * BC) / AD = (8 * 10) / 8 = 10 (см).

Ответ: ∠B = 130°, ∠C = 50°, ∠D = 130°, CD = 10 см.

Пример 2. В трапеции ABCD известно: ∠A = 105°, ∠B = 45°, AB = 5 дм, AD = 13 дм. Найдите BC, CD и площадь трапеции.

Решение. По свойству углов:

∠C + ∠D = 180°

∠C = 180° - ∠D = 180° - 45° = 135°.

Для нахождения BC применяем теорему Фалеса:

BC / CD = AB / AD

BC = (AB * CD) / AD = (5 * CD) / 13.

Чтобы найти CD, рассмотрим треугольник ABD:

tg45° = CD / AB, откуда CD = AB * tg45° = 5 * 1 = 5 (дм).

Подставляя это значение в формулу, получаем:

BC = (5 * 5) / 13 = 25 / 13 (дм).

Высота трапеции равна:

h = AD * sin105° = 13 * sin105° ≈ 12,2 (дм).

По формуле площади трапеции имеем:

S = ((AB + BC) / 2) * h =

= ((5 + 25/13) / 2) * 12,2 ≈ 94 (дм2).

Ответ: BC = 25/13 дм, CD = 5 дм, S = 94 дм2.

Пример 3. Дана трапеция ABCD с основаниями AB = 28 см и CD = 16 см, диагональю AC = 34 см. Найдите BD, площадь трапеции и ее высоту.

Решение. По теореме Пифагора для треугольника ACD:

BD2 = AC2 + CD2

BD2 = 342 + 162 = 1156

BD = √1156 ≈ 34 см.

Для нахождения площади воспользуемся формулой через диагонали и угол между ними:

S = (AC * BD * sinα) / 2,

где sinα = CD / BD = 16 / 34.

Подставляя значения, получаем:

S = (34 * 34 * 16/34) / 2 = 272 см2.

Высота трапеции равна:

h = 2S / (AB + CD) = 2 * 272 / (28 + 16) = 22 см.

Ответ: BD = 34 см, S = 272 см2, h = 22 см.

Данные примеры показывают, как можно использовать различные свойства и формулы трапеции для нахождения ее элементов и вычисления площади. Решение подобных задач помогает лучше усвоить тему и подготовиться к контрольным работам в 8 классе.

Особые виды: равнобедренная и прямоугольная трапеции

Помимо обычной трапеции, выделяют два ее особых вида, обладающих дополнительными свойствами - равнобедренную и прямоугольную трапеции. Рассмотрим их подробнее.

Равнобедренная трапеция отличается от обычной тем, что ее боковые стороны равны между собой. Это влечет за собой некоторые следствия:

• Углы при основаниях равнобедренной трапеции равны.
• Ее диагонали также равны.
• Средняя линия параллельна основаниям и равна половине каждого из них.

Эти свойства можно доказать с помощью дополнительных построений, используя параллельность сторон трапеции. Они позволяют упростить вычисления углов и сторон в задачах.

Кроме того, для равнобедренной трапеции справедливы признаки: если углы при основании равны или диагонали равны, то боковые стороны тоже равны. Это следует из равенства треугольников, образованных диагоналями и боковыми сторонами.

Формула площади равнобедренной трапеции такая же, как для обычной. Но благодаря равенству боковых сторон высоту всегда можно выразить через стороны или диагонали, что упрощает вычисления.

Прямоугольная трапеция - это трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Это позволяет применить теорему Пифагора и свойства прямоугольных треугольников при решении задач.

У прямоугольной трапеции выполняются соотношения:

• Боковая сторона, лежащая против прямого угла, является высотой трапеции.
• Каждая из диагоналей делит трапецию на два прямоугольных треугольника.
• Диагонали трапеции равны среднему геометрическому ее оснований.

Эти свойства позволяют быстро находить высоту трапеции, определять вид треугольников для использования теоремы Пифагора и выводить формулы диагоналей.

Площадь прямоугольной трапеции равна произведению средней линии на высоту или сумме площадей двух прямоугольных треугольников, на которые она разбивается диагональю.

Рассмотрим несколько примеров задач на равнобедренную и прямоугольную трапеции:

Пример 1. В равнобедренной трапеции ABCD известно: AB = 8 см, AD = 6 см, ∠BAD = 30°. Найдите BC, CD и ∠BCD.

Решение. Поскольку углы BAD и BCD вертикальные, имеем:

∠ABD = 180° - ∠BAD = 180° - 30° = 150°.

Из равенства углов при основании:

∠BCD = ∠ABD = 150°.

По теореме Пифагора для треугольника ABD:

BD2 = AB2 + AD2 = 82 + 62 = 100,

BD = 10 см.

Так как AB = BC и BD = CD, то BC = CD = 10 см.

Ответ: BC = CD = 10 см, ∠BCD = 150°.

Пример 2. В прямоугольной трапеции ABCD известно: ∠A = 90°, AB = 6 см, AD = 10 см, ∠BAD = 45°. Найдите BC, CD и площадь трапеции.

Решение. По теореме Пифагора для треугольника ABD:

BD2 = AB2 + AD2 = 62 + 102 = 136,

BD = 12 см.

BC = BD = 12 см (как катет, лежащий напротив угла 45°).

По теореме Пифагора для треугольника BCD:

CD2 = BC2 + BD2 = 122 + 122 = 288,

CD = 12√2 см.

Высота трапеции равна боковой стороне AB, то есть 6 см.

Площадь: S = (AB + CD) / 2 * h = (6 + 12√2) / 2 * 6 = 54 см2.

Ответ: BC = 12 см, CD = 12√2 см, S = 54 см2.

Таким образом, знание дополнительных свойств равнобедренной и прямоугольной трапеций позволяет упростить решение многих задач в курсе планиметрии 8 класса.