Математические действия с корнями: сложение, вычитание, извлечение
Корень является одним из основных понятий в математике. С ним приходится выполнять различные действия: складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень. Знание правил работы с корнями необходимо для решения множества задач из курсов алгебры, начал анализа, физики и других дисциплин.
В данной статье мы подробно разберем основные операции над корнями на конкретных примерах. Рассмотрим правила сложения и вычитания корней, умножения и деления корней, возведения корня в степень и извлечения корней из выражений.
Особое внимание уделим приемам преобразования иррациональных выражений, содержащих корни. Научимся освобождать знаменатель или числитель дроби от иррациональности, используя специальные формулы и свойства корней.
Правила сложения и вычитания корней
Сложение и вычитание корней возможно только в том случае, если подкоренные выражения одинаковы. Например, можно сложить или вычесть числа √23 и √63, так как под корнем стоят одинаковые выражения – 23 и 63. Однако сложить √56 и √94 нельзя, поскольку подкоренные выражения разные.
- Чтобы сложить или вычесть корни, необходимо сначала привести их подкоренные выражения к одинаковому виду.
- Затем складывать или вычитать числа перед знаком корня, а подкоренное выражение оставить без изменений.
Например: √50 - √8 + √12
| √50 | 5√2 |
| √8 | 2√2 |
| √12 | 2√3 |
Таким образом, исходное выражение преобразуется к виду: 5√2 - 2√2 + 2√3. Здесь видно, что есть два одинаковых подкоренных выражения √2, которые можно сложить: (5 - 2)√2 + 2√3 = 3√2 + 2√3.
Умножение и деление корней
При умножении корней с одинаковыми подкоренными выражениями показатель корня остается без изменений, а подкоренные выражения перемножаются.
Например: √2 ∙ √2 = 2√2;
При делении корней с одинаковыми подкоренными выражениями показатель корня также не меняется, а подкоренные выражения делятся.
Например: √8 : √2 = √(8/2) = √4 = 2.
Если подкоренные выражения разные, то сначала нужно привести корни к общему знаменателю when performing arithmetic operations with radicals (когда выполняются арифметические действия с корнями).
Например, чтобы умножить √3 и √6, сначала приводим подкоренные выражения к одинаковому виду:
√3 ∙ √6 = √3 ∙ √(3∙2) = (√3 ∙ √3) ∙ √2 = 3∙√2.
А чтобы разделить √12 на √3, сначала также приводим подкоренные выражения к одному виду:
√12 : √3 = √(12/3) : √3 = √4 : √3 = 2.
Возведение корня в степень и извлечение корня
Чтобы возвести корень в степень, необходимо возвести в эту степень подкоренное выражение:
Например: (√5)2 = 52 = 25.
А чтобы извлечь корень из степени, нужно извлечь этот корень из основания степени:
Например: √25 = 5.
Также можно извлекать корень из другого корня. В этом случае показатели корней перемножаются:
Например: √√25 = √(√25) = √5 = 5√2
При преобразовании выражений, содержащих корни, часто приходится выносить множитель из-под знака корня или, наоборот, вносить множитель под корень. Эти действия также основаны на свойствах корней:
Например:
- √12 = √(4·3) = √4 · √3 = 2√3 - множитель 3 вынесен из-под корня;
- 2√3 = 2·√3 - множитель 2 внесен под корень.
Подобные преобразования часто используются при упрощении дробей, содержащих корни, когда требуется освободить знаменатель или числитель от иррациональности.
Преобразование иррациональных выражений, содержащих корни
Иррациональные выражения, содержащие корни, можно преобразовывать различными способами с целью упрощения или вычисления значения выражения при использовании свойств корней и действий с ними.
Рассмотрим несколько видов таких преобразований:
- Преобразование дроби, содержащей корни, путем освобождения знаменателя или числителя от иррациональности. Например:
- √3/2 = √3/√4 = √3/2
- (3+√5)/4 = (3/4)+(√5/4)
- Упрощение выражений с корнями путем вынесения множителя из-под знака корня или внесения множителя под корень. Например:
- 2√5 + √20 = 2√5 + 2√5
- √32 - 4√3 = 4√2 - 4√3