Периодическая функция: общие понятия
Часто при изучении явлений природы, химических и физических свойств различных веществ, а также при решении сложных технических задач приходится сталкиваться с процессами, характерной чертой которых является периодичность, то есть тенденция к повторению через некоторый промежуток времени. Для описания и графического изображения такой цикличности в науке существует функция особого вида – периодическая функция.
Самый простой и всем понятный пример – обращение нашей планеты вокруг Солнца, при котором все время меняющееся между ними расстояние подчиняется годовым циклам. Точно так же возвращается на свое место, совершив полный оборот, лопасть турбины. Все подобные процессы можно описать такой математической величиной, как периодическая функция. По большому счету, весь наш мир имеет цикличный характер. А значит, и периодическая функция занимает немаловажное место в системе человеческих координат.
Потребность математической науки в теории чисел, топологии, дифференциальных уравнениях и точных геометрических вычислениях привела к появлению в девятнадцатом веке новой категории функций с необычными свойствами. Ими стали периодические функции, принимающие тождественные значения в определенных точках в результате сложных преобразований. Сейчас они применяются во многих разделах математики и других наук. Например, при изучении различных колебательных эффектов в волновой физике.
В различных математических учебниках даются разные определения периодической функции. Однако независимо от этих расхождений в формулировках, все они эквивалентны, так как описывают они и те же свойства функции. Наиболее простым и понятным может быть следующее определение. Функции, числовые показатели которых не подвергаются изменениям, если прибавить к их аргументу некоторое число, отличное от нуля, так называемый период функции, обозначаемый литерой Т, называются периодическими. Что все это значит на практике?
Например, простая функция вида: y = f(x) станет периодической в том случае, если Х имеет определенное значение периода (Т). Из данного определения следует, что если числовое значение функции, имеющей период (Т), определено в одной из точек (х), то ее значение также становится известным в точках х + Т, х – Т. Важным моментом здесь является то, что при Т равном нулю функция превращается в тождество. Периодическая функция может обладать бесконечным числом различных периодов. В основной массе случаев среди положительных значений Т существует период с наименьшим числовым показателем. Его называют основным периодом. А все остальные значения Т всегда ему кратны. Это еще одно интересное и очень важное для различных областей науки свойство.
График периодической функции обладает тоже несколькими особенностями. Например, если Т является основным периодом выражения: y = f(x), то при построении графика данной функции достаточно всего лишь построить ветвь на одном из промежутков длины периода, а затем перенести ее по оси х на следующие значения: ±Т, ±2Т, ±3Т и так далее. В заключение следует отметить, что не у всякой периодической функции есть основной период. Классическим примером этого служит функция немецкого математика Дирихле следующего вида: y = d(x).