Дифференциальные уравнения первого порядка - особенности решения и примеры

Одной из самых сложных и непонятных тем вузовской математики становятся интегрирование и дифференциальное исчисление. Необходимо знать и разбираться в этих понятиях, а также уметь их применять. Многие вузовские технические дисциплины завязаны на дифференциалах и интегралах.

Краткая информация про уравнения

Данные уравнения являются одним из важнейших математических понятий в образовательной системе. Дифференциальное уравнение - это уравнение, которое связывает независимые переменные, функцию, которую необходимо отыскать и производные этой функции переменным, которые считаются независимыми. Дифференциальное исчисление для отыскания функции одной переменной называется обыкновенным. Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то говорят об уравнении в частных производных.

По сути, нахождение некого ответа уравнения сводится к интегрированию, а метод решения определяется видом уравнения.

Уравнения 1-го порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка - такое уравнение, которое способно описать переменную, нужную функцию и ее первую производную. Такие уравнения могут быть заданы в трех видах: явная, неявная, дифференциальная.

Понятия, необходимые для решения

Начальное условие - задание значения искомой функции при заданном значении переменной, которая является независимой.

Решение дифференциального уравнения - любая дифференцируемая функция, точно подставленная в исходное уравнение, обращает его в тождественно равное. Решение полученное, не являющееся явным, есть интеграл уравнения.

Общее решение дифференциальных уравнений - это функция y = y(x;C), которая может удовлетворять следующим суждениям:

1. Функция может иметь только одну произвольную постоянную С.
2. Полученная функция должна быть решением уравнения при любых произвольных значениях произвольной постоянной.
3. При заданном начальном условии произвольную постоянную можно определить единственным образом так, что полученное частное решение будет согласовываться с заданным раннее начальным условием.

На практике часто используется задача Коши - отыскание такого решения, которое является частным и может сравниться с условием, поставленным в начале.

Теорема Коши - теорема, которая подчеркивает существование и единственность частного решения в дифференциальных исчислениях.

Геометрический смысл:

• Общее решение y = y(x;C) уравнения есть общее количество интегральных кривых.
• Дифференциальное исчисление позволяет связать координаты точки плоскости XOY и касательную, которая проведена к интегральной кривой.
• Задание исходного условия означает задание точки на плоскости.
• Решить задачу Коши означает, что из всего множества интегральных кривых, представляющих одинаковое решение уравнения, необходимо отобрать ту единственную, проходящую через единственную возможную точку.
• Выполнение условий теоремы Коши в точке означает, что через выбранную точку в плоскости обязательно проходит (притом, только одна) интегральная кривая.

Уравнение с разделяющимися переменными

По определению, дифференциальное уравнение - это такое уравнение, где его правая часть описывает собой или отражена в виде произведения (иногда отношения) двух функций, одна, зависящая только от "х", а другая - только от "y". Ясный пример для такого вида: y' = f1(x)*f2(y).

Чтобы решить уравнения конкретной формы, требуется сначала преобразовать производную y' = dy/dx. Затем нужно с помощью манипуляций с уравнением привести его к такому виду, когда можно интегрировать две части уравнения. После необходимых преобразований интегрируем обе части и упрощаем полученный результат.

Однородные уравнения

По определению, дифференциальное уравнение можно именовать однородным, если оно имеет следующую форму: y' = g(y/x).

При этом чаще всего используется замена y/x = t(x).

Для решения подобных уравнений необходимо свести однородное уравнение к виду с разделяющимися переменными. Для этого необходимо произвести следующие операции:

1. Отобразить, выражая производную изначальной функции, из любой исходной в виде нового уравнения.
2. Следующим шагом необходимо преобразовать полученную функцию в вид f(x;y) = g(y/x). Более простыми словами - сделать так, чтобы уравнение содержало только отношение y/x и константы.
3. Произвести следующую замену: y/x = t(x); y = t(x)*x; y' = t'*x + t. Произведенное замещение поможет поделить в уравнении переменные, постепенно приводя его к более простой форме.

Линейные уравнения

Определение таких уравнений выглядит следующим образом: линейное дифференциальное уравнение - это такое уравнение, где его правая часть выражается как линейное выражение относительно изначальной функции. Искомая функция в этом случае: y' = a(x)*y + b(x).

Перефразируем определение следующим образом: любое уравнение 1-го порядка станет линейным по своему виду, если изначальная функция и ее производная от нее включены в уравнение первых степенях и не умножаются на друг друга. "Классический вид" линейного диф-уравнения имеет следующую структуру: y' + P(x)y = Q(x).

Прежде чем решать такое уравнение, следует преобразовать его к "классической форме". Следующим этапом станет выбор способа решений: способ Бернулли или методика Лагранжа.

Решение уравнения с помощью метода, который ввел Бернулли, подразумевает собой подстановку и сведение линейного дифференциального уравнения к двум уравнениям с раздельными переменными сравнительно функций U(x), а также V(x), которые были даны в первоначальном виде.

Метод Лагранжа заключается в поиске общего решения исходного уравнения.

1. Следует отыскать одинаковое решение однородного уравнения. После поиска имеем функцию y = y(x,C), где C - произвольная постоянная.
2. Ведем поиск решения изначального уравнения в той же форме, но считаем C = C(x). Подставляем функцию y = y(x,C(x)) в изначальное уравнение, отыскиваем функцию C(x) и записываем решение общего исходного уравнения.

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли - если правая часть исчисления принимает вид f(x;y) = a(x)y + b(x)yk, где k - любое возможное рациональное числовое значение, не беря в пример случаи, когда k = 0 и k = 1.

Если k = 1, то исчисление принимает вид с разделяющимися переменными, а при k = 0 уравнение остается линейным.

Рассмотрим общий случай решения данного типа уравнения. Имеем стандартное уравнение Бернулли. Его необходимо свести к линейному, для этого нужно поделить уравнение на yk. После этой операции произвести замену z(x) = y1-k. После ряда преобразований уравнение будет сводиться к линейному, чаще всего методом подстановки z = U*V.

Уравнения в полных дифференциалах

Определение. Уравнение, имеющее структуру P(x;y)dx + Q(x;y)dy = 0 именуется уравнением в полных дифференциалах, в том случае, если соблюдается следующее условие (в этом условии "d" - частный дифференциал): dP(x;y)/dy = dQ(x;y)/dx.

Все раннее рассмотренные первого порядка дифференциальные уравнения можно отобразить в виде дифференциалов.

Такие исчисления решаются несколькими способами. Но, однако, все они начинаются с проверки выполнения условия. Если условие выполнено, то крайняя левая область уравнения есть полный дифференциал, пока неизвестной функции U(x;y). Тогда, в соответствии с уравнением, dU(x;y) будет равно нулю, и поэтому одинаковый интеграл уравнения в полных дифференциалах будет отображаться в виде U(x;y) = С. Поэтому решение уравнения приводится к отысканию функции U(x;y).

Интегрирующий множитель

Если в уравнении условие dP(x;y)/dy = dQ(x;y)/dx не выполняется, то уравнение не имеет вид, который мы рассмотрели пунктом выше. Но иногда можно подобрать некоторую функцию M(x;y), при умножении на которую уравнение принимает вид уравнения в полных "диффурах". Функция M (x;y) именуется как интегрирующий множитель.

Интегрирующий можно найти только в тех случаях, когда он становится функцией исключительно для одной переменной.