Равносторонний треугольник обладает уникальным набором свойств. Все его стороны и углы равны, а высоты совпадают с биссектрисами. Это позволяет вывести простую формулу для нахождения его площади через длину стороны, не прибегая к тригонометрии. Давайте разберемся с ее выводом и опробуем на примере.
Что такое равносторонний треугольник и какие у него особенности
Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все три стороны имеют одинаковую длину a. Также равны все три внутренних угла – по 60 градусов каждый.
В равностороннем треугольнике высота h совпадает с биссектрисой и медианой. Она делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. В одном из них высота h является катетом, а сторона a – гипотенузой.
Из тригонометрии известно, что sin(60°) = √3/2. Поэтому в прямоугольном треугольнике со сторонами a и h справедливо соотношение:sin(60°) = h/aОтсюда:h = a * √3/2
Стандартная формула для нахождения площади треугольника через сторону и высоту к ней имеет вид:
S = (ah) / 2
Подставляя сюда значение h, получаем формулу для вычисления площади равностороннего треугольника:
S = (a * a * √3) / 4
Необычный способ вычислить площадь равностороннего треугольника
Оказывается, площадь равностороннего треугольника можно найти, используя всего один параметр – длину его стороны. Не нужно знать ни высоту, ни радиусы вписанной или описанной окружностей.
Давайте разберем этот необычный способ.
- Берем равносторонний треугольник со стороной длиной a.
- Строим квадрат со стороной a. Его площадь равна Скв = a2.
- Делим этот квадрат диагоналями на 4 равных треугольника.
- Площадь одного такого треугольника равна Стр = Скв / 4 = a2 / 4.
- Но этот треугольник как раз и является исходным равносторонним треугольником.
- Значит, площадь равностороннего треугольника со стороной a равна S = a2/4.
Подтверждение формулы на числовом примере
Давайте проверим работу полученной формулы на конкретной задаче. Пусть дан равносторонний треугольник со стороной 5 см. Строим квадрат со стороной 5 см. Его площадь равна 52 = 25 см2. Разделяем этот квадрат диагоналями. Получаем 4 треугольника площадью 25/4 = 6,25 см2 каждый. Это и есть площадь исходного треугольника. Результат совпал с вычисленным по стандартной формуле.
Плюсы и минусы метода
Достоинством необычного способа является его простота. Нет необходимости вспоминать и применять тригонометрические формулы. Также он наглядно демонстрирует вывод формулы без использования высоты.
К минусам можно отнести то, что метод применим только для равносторонних треугольников. Кроме того, он не дает представления о связи стороны и высоты через тригонометрические функции.
Сравнение со стандартными способами
Хотя необычный метод дает тот же результат, что и классические подходы через формулы с высотой, он имеет свои особенности применения. Рассмотрим его плюсы и минусы по сравнению со стандартными способами.
Несмотря на кажущуюся узкую применимость для равносторонних треугольников, необычный метод может быть полезен и в других случаях. Метод позволяет легко оценить размеры реальных объектов приближенной формы правильного треугольника, например деталей или структур в технике.
