Люди привыкли считать правильным то, что представляется очевидным. Оттого они часто попадают впросак, неверно оценив ситуацию, доверившись своей интуиции и не уделив время для того, чтобы критически осмыслить свой выбор и его последствия.
Что такое парадокс Монти Холла? Это наглядная иллюстрация неспособности человека взвесить свои шансы на успех в условиях выбора благоприятного исхода при наличии более чем одного неблагоприятного.
Формулировка парадокса Монти Холла
Итак, что же это за зверь такой? О чем, собственно, речь? Самым известным примером парадокса Монти Холла выступает телешоу, популярное в Америке середины прошлого века под названием «Давай заключим пари!». Кстати, именно благодаря ведущему этой викторины впоследствии и получил свое имя парадокс Монти Холла.
Игра состояла в следующем: участнику показывали три двери, с виду совершенно одинаковые. Однако за одной из них игрока ждал дорогой новый автомобиль, а вот за двумя другими в нетерпении томилось по козе. Как это обычно бывает в случае телевикторин, что находилось за выбранной конкурсантом дверью, то и становилось его выигрышем.
В чем же состоит хитрость?
Но не все так просто. После того как выбор был сделан, ведущий, зная, где сокрыт главный приз, открывал одну из оставшихся двух дверей (конечно, ту самую, за которой притаилось парнокопытное), а затем спрашивал игрока, не желает ли тот изменить свое решение.
Парадокс Монти Холла, сформулированный учеными в 1990 году, заключается в том, что, вопреки интуиции, подсказывающей, что нет никакой разницы в принятии на основании вопроса ведущего решения, нужно согласиться изменить свой выбор. Если хочется заполучить отличную машину, естественно.
Как это работает?
Причин, по которым людям не захочется отказываться от своего выбора, несколько. Интуиция и простая (но неверная) логика говорят, что от этого решения ничего не зависит. Более того, далеко не каждому захочется идти на поводу у другого - это же самая настоящая манипуляция, разве не так? Нет, не так. Но если бы все было сразу интуитивно понятно, то и парадоксом это не стали бы называть. Нет ничего странного в том, чтобы сомневаться. Когда данную головоломку впервые опубликовали в одном из крупных журналов, тысячи читателей, в том числе и признанные математики, прислали в редакцию письма, в которых утверждали, что напечатанный в номере ответ не соответствует действительности. Если существование теории вероятностей не было новостью для человека, попавшего на шоу, то возможно, он бы смог разгадать эту задачу. И тем самым увеличить шансы на победу. На самом деле объяснение парадокса Монти Холла сводится к несложной математике.
Объяснение первое, посложнее
Вероятность того, что приз находится за той дверью, которая была избрана изначально – один из трех. Шанс же обнаружить его за одной из двух оставшихся равен двум из трех. Логично, не так ли? Теперь, после того как одна из этих дверей оказывается открытой, и за ней обнаруживается коза, во втором множестве (том, которое соответствует 2/3 шанса на успех) остается только один вариант. Значение этого варианта остается прежним, и оно равно двум из трех. Таким образом, становится очевидно, что, изменив свое решение, игрок увеличит вероятность выигрыша вдвое.
Объяснение номер два, попроще
После такого трактования решения многие все равно настаивают на том, что смысла в этом выборе нет, ведь варианта всего два и один из них точно выигрышный, а другой однозначно ведет к поражению.
Но у теории вероятностей на данную проблему свой взгляд. И это становится еще яснее, если представить себе, что дверей изначально не три, а, скажем, сто. В таком случае возможность угадать, где находится приз, с первого раза составляет всего лишь один к девяносто девяти. Теперь участник делает свой выбор, а Монти исключает девяносто восемь дверей с козами, оставляя лишь две, одну из которых выбрал игрок. Таким образом, вариант, выбранный изначально, сохраняет шансы на выигрыш равные 1/100, а вторая предложенная возможность – 99/100. Выбор должен быть очевиден.
Существуют ли опровержения?
Ответ прост: нет. Ни одного достаточно обоснованного опровержения парадокса Монти Холла не существует. Все "разоблачения", которые можно обнаружить в Сети, сводятся к непониманию принципов математики и логики.
Для каждого, кто хорошо знаком с математическими принципами, неслучайность вероятностей абсолютно очевидна. Не соглашаться с ними может только тот, кто не понимает, как устроена логика. Если все вышесказанное до сих пор звучит неубедительно – обоснование парадокса было проверено и подтверждено на известной передаче «Разрушители легенд», а кому еще поверить, как не им?
Возможность убедиться наглядно
Хорошо, пусть все это звучит убедительно. Но ведь это только теория, можно ли как-то посмотреть на работу этого принципа в действии, а не только на словах? Во-первых, живых людей никто не отменял. Найдите напарника, который возьмет на себя роль ведущего и поможет разыграть вышеописанный алгоритм в реальности. Для удобства можно взять коробки, ящики или вовсе рисовать на бумаге. Повторив процесс несколько десятков раз, сравните число выигрышей в случае смены первоначального выбора с тем, сколько побед принесло упрямство, и все станет ясно. А можно поступить еще проще и воспользоваться Интернетом. В Сети существует немало симуляторов парадокса Монти Холла, в них можно проверить все самому и без лишнего реквизита.
Какой толк от этих знаний?
Может показаться, что это просто очередная головоломка, призванная напрячь мозги, и служит она лишь развлекательным целям. Однако свое практическое применение парадокс Монти Холла находит в первую очередь в азартных играх и различных тотализаторах. Тем, кто имеет большой опыт, прекрасно известны распространенные стратегии увеличения шансов на обнаружение валуйной ставки (от английского слова value, что буквально означает "ценность" – такой прогноз, который сбудется с большей вероятностью, чем это было оценено букмекерами). И одна из таких стратегий напрямую задействует парадокс Монти Холла.
Пример в работе с тотализатором
Спортивный пример будет мало отличаться от классического. Допустим, есть три команды из первого дивизиона. В три ближайших дня каждая из этих команд должна сыграть по одному решающему матчу. Та из них, что по итогам матча наберет больше очков, чем две другие, останется в первом дивизионе, остальные же будут вынуждены его покинуть. Предложение букмекера простое: нужно поставить на сохранение позиций одного из этих футбольных клубов, при этом коэффициенты ставок равны.
Для удобства принимаются такие условия, при которых соперники участвующих в выборе клубов примерно равны по силе. Таким образом, однозначно определить фаворита до начала игр не получится.
Тут нужно вспомнить историю про коз и автомобиль. Каждая из команд имеет шанс остаться на своем месте в одном случае из трех. Выбирается любая из них, на нее делается ставка. Пусть это будет "Балтика". По результатам первого дня один из клубов проигрывает, а двоим сыграть еще только предстоит. Это та самая "Балтика" и, скажем, "Шинник".
Большинство сохранит свою первоначальную ставку – в первом дивизионе останется "Балтика". Но следует помнить, что ее шансы остались прежними, а вот шансы "Шинника" удвоились. Поэтому логично сделать еще одну ставку, более крупную, на победу "Шинника".
Наступает следующий день, и матч с участием "Балтики" проходит вничью. Следующим играет "Шинник", и его игра заканчивается победой со счетом 3:0. Выходит, что именно он останется в первом дивизионе. Поэтому, хоть первая ставка на "Балтику" и теряется, но эту потерю перекрывает прибыль на новой ставке на "Шинник".
Можно предположить, и большинство так и поступит, что выигрыш "Шинника" – всего лишь случайность. На самом же деле принимать вероятность за случайность – крупнейшая ошибка для человека, участвующего в спортивных тотализаторах. Ведь профессионал всегда скажет, что любая вероятность выражается прежде всего в четких математических закономерностях. Если знать основы этого подхода и все связанные с ним нюансы, то риски потери денег сведутся к минимуму.
Польза в прогнозировании экономических процессов
Итак, в ставках на спорт парадокс Монти Холла знать просто необходимо. Но одними тотализаторами область его применения не ограничивается. Теория вероятностей всегда тесно связана со статистикой, оттого в политике и экономике понимание принципов парадокса не менее важно.
В условиях экономической неопределенности, с которой часто имеют дело аналитики, нужно помнить следующий проистекающий из решения задачи вывод: не обязательно точно знать единственно верное решение. Шансы на удачный прогноз всегда повышаются, если знать, чего точно не произойдет. Собственно, это и есть самый полезный вывод из парадокса Монти Холла.
Когда мир стоит на пороге экономических потрясений, политики всегда стараются угадать нужный вариант действий, чтобы максимально снизить последствия кризиса. Возвращаясь к предыдущим примерам, в сфере экономики задачу можно описать так: перед руководителями стран есть три двери. Одна ведет к гиперинфляции, вторая к дефляции, а третья – к заветному умеренному росту экономики. Но как нащупать верный ответ?
Политики утверждают, что те или иные их действия приведут к увеличению рабочих мест и росту экономики. Но ведущие экономисты, опытные люди, среди которых даже лауреаты Нобелевской премии, наглядно демонстрируют им, что один из этих вариантов точно не приведет к желаемому результату. Станут ли после этого политики менять свой выбор? Крайне маловероятно, так как в этом отношении они мало чем отличаются от тех же участников телешоу. Поэтому вероятность ошибки только увеличится при увеличении числа советчиков.
Исчерпывается ли этим информация по теме?
На самом деле до сих пор здесь рассматривался только "классический" вариант парадокса, то есть та ситуация, при которой ведущий точно знает, за какой из дверей находится приз, и открывает только дверь с козой. Но существуют и другие механизмы поведения ведущего, в зависимости от которых принцип работы алгоритма и результат его выполнения будут отличаться.
Влияние поведения ведущего на парадокс
Итак, что же может сделать ведущий, чтобы изменить ход событий? Допустим разные варианты.
Так называемый "Дьявольский Монти" – ситуация, в которой ведущий всегда предложит игроку поменять свой выбор при условии, что он был изначально верным. В этом случае изменение решения всегда приведет к поражению.
Напротив, "Ангельским Монти" называется похожий принцип поведения, но в том случае, если выбор игрока был изначально неверным. Логично, что в такой ситуации изменение решения приведет к победе.
Если же ведущий открывает двери наугад, не имея представления о том, что скрыто за каждой из них, то шансы выиграть всегда будут равны пятидесяти процентам. При этом за открытой ведущим дверью может оказаться и автомобиль.
Ведущий может 100 % открыть дверь с козой, если игрок выбрал автомобиль, и с 50 % вероятностью в случае, если игрок выбрал козу. При таком алгоритме действий, если игрок изменит выбор, то всегда будет в выигрыше в одном случае из двух.
Когда игра повторяется вновь и вновь, а вероятность того, что выигрышной окажется определенная дверь, всегда произвольна (так же как и то, какую дверь откроет ведущий, при этом ему известно, где скрывается автомобиль, и он всегда открывает дверь с козой и предлагает изменить выбор) – шанс победить всегда будет равен одному из трех. Это называется равновесием Нэша.
Равно как и в таком же случае, но при условии, что ведущий не обязан открывать одну из дверей вовсе — вероятность победы будет все так же равна 1/3.
В то время как классическая схема проверяется довольно легко, эксперименты с другими возможными алгоритмами поведения ведущего произвести на практике намного сложнее. Но при должной дотошности экспериментатора возможно и такое.
И все же, к чему все это?
Понимание механизмов действий любых логических парадоксов очень полезно для человека, его мозга и осознания того, как на самом деле может быть устроен мир, насколько его устройство может отличаться от привычного представления индивида о нем.
Чем больше человек знает о том, как работает то, что окружает его в повседневной жизни и о чем он вовсе не привык задумываться, тем лучше работает его сознание, и тем эффективнее он может быть в своих поступках и устремлениях.
