Как доказать, что последовательность сходится? Основные свойства сходящихся последовательностей

Для многих людей математический анализ представляет собой лишь набор непонятных цифр, значков и определений, далёких от реальной жизни. Однако, мир, в котором существуем мы, построен на числовых закономерностях, выявление которых помогает не просто познавать окружающий мир и решать его сложные проблемы, но и упрощать бытовые практические задачи. Что имеет в виду математик, когда говорит, что числовая последовательность сходится? Об этом следует поговорить подробнее.

Что такое бесконечно малое?

Представим себе матрёшек, которые помещаются одна в другой. Размеры их, записанные в виде цифр, начиная с большей и кончая меньшей из них, формируют последовательность. Если вообразить бесконечное количество подобных ярких фигурок, то получившийся ряд окажется фантастически длинным. Это сходящаяся числовая последовательность. И стремится она к нулю, так как размеры каждой последующей матрёшки, катастрофически уменьшаясь, постепенно превращаются в ничто. Таким образом, легко можно объяснить: что такое бесконечно малое.

Похожим примером может стать дорога, уходящая вдаль. А визуальные размеры автомобиля, уезжающего по ней от наблюдателя, постепенно сокращаясь, превращаются в бесформенное пятнышко, напоминающее точку. Таким образом, машина, как некий объект, удаляясь в неизвестном направлении, становится бесконечно маленькой. Параметры указанного тела никогда не будут нулевыми в прямом смысле этого слова, но неизменно стремятся к этой величине в конечном пределе. Поэтому данная последовательность сходится снова к нулю.

Рассчитаем всё по каплям

Вообразим теперь житейскую ситуацию. Больному врач прописал принимать микстуру, начиная с десяти капель в день и прибавляя по две в каждые последующие сутки. И так доктор предложил продолжать до тех пор, пока не кончится содержимое пузырька с лекарством, объём которого составляет 190 капель. Из изложенного следует, что количество таковых, расписанное по дням составит следующий числовой ряд: 10, 12, 14 и так далее.

Как выяснить время прохождения всего курса и количество членов последовательности? Здесь, конечно, можно подсчитывать капли примитивным образом. Но гораздо легче, учитывая закономерность, воспользоваться формулой суммы арифметической прогрессии с шагом d = 2. И с применением такого метода выяснить, что количество членов числового ряда равно 10. При этом а₁₀ = 28. Номер члена указывает на количество дней приёма лекарства, а 28 соответствует числу капель, которые больной должен употребить в последний день. Данная последовательность сходится? Нет, потому что, несмотря на то, что снизу она ограничена числом 10, а сверху – 28, такой числовой ряд не имеет предела, в отличие от предыдущих примеров.

В чём разница?

Попробуем теперь уточнить: когда числовой ряд оказывается сходящейся последовательностью. Определение такого рода, как можно заключить из вышеописанного, напрямую связано с понятием конечного предела, наличие которого и выявляет суть вопроса. Так в чём принципиальное отличие ранее приведённых примеров? И почему в последнем из них число 28 не может считаться пределом числового ряда X_n = 10 + 2(n-1)?

Для выяснения этого вопроса рассмотрим другую последовательность, заданную нижеуказанной формулой, где n принадлежит множеству натуральных чисел.

Данное сообщество членов представляет собой набор обыкновенных дробей, числитель которых 1, а знаменатель постоянно увеличивается: 1, ½ …

Причём каждый последующий представитель этого ряда по расположению на числовой прямой всё больше приближается к 0. А это значит, что появляется такая окрестность, где точки скучиваются вокруг нуля, который и является пределом. И чем ближе они к нему, тем плотнее становится их концентрация на числовой прямой. А расстояние между ними катастрофически сокращается, превращаясь в бесконечно малое. Это признак того, что последовательность сходится.

Подобным же образом разноцветные прямоугольники, изображённые на рисунке, при удалении в пространстве визуально располагаются кучнее, в гипотетическом пределе превращаясь в ничтожно малые.

Бесконечно большие последовательности

Разобрав определение сходящейся последовательности, перейдём теперь к противоположным примерам. Многие из них были известны человеку с самых древних времён. Простейшими вариантами расходящихся последовательностей являются ряды натуральных и чётных чисел. Они по-другому именуются бесконечно большими, так как члены их, постоянно увеличиваясь, всё больше приближаются к положительной бесконечности.

Примерами таковых также могут служить любая из арифметических и геометрических прогрессий с шагом и знаменателем соответственно больше нуля. Расходящимися последовательностями считаются, к тому же, числовые ряды, которые и вовсе не имеют предела. К примеру, X_n = (-2)^n-1.

Последовательность Фибоначчи

Практическая польза указанных ранее числовых рядов для человечества несомненна. Но существует огромное множество и других замечательных примеров. Одним из них является последовательность Фибоначчи. Каждый из её членов, которые начинаются с единицы, представляет собой сумму предыдущих. Первыми двумя её представителями являются 1 и 1. Третий 1+1=2, четвёртый 1+2=3, пятый 2+3=5. Далее, согласно этой же логике, следуют числа 8, 13, 21 и так далее.

Данный ряд чисел неограниченно возрастает и не имеет конечного предела. Зато он обладает ещё одним замечательным свойством. Отношение каждого предыдущего числа к последующему всё более приближается по своему значению к 0, 618. Здесь можно уяснить разницу между сходящейся и расходящейся последовательностью, ведь если составить ряд из полученных частных от делений, указанный числовой строй будет иметь конечный предел равный 0,618.

Последовательность коэффициентов Фибоначчи

Указанный выше числовой ряд широко используется в практических целях для технического анализа рынков. Но этим не ограничиваются его возможности, которые знали и умели применять на практике ещё в глубокой древности египтяне и греки. Это доказывают построенные ими пирамиды и Парфенон. Ведь число 0, 618 является постоянным коэффициентом хорошо известного в старину золотого сечения. Согласно этому правилу, любой произвольный отрезок возможно поделить так, что отношение между его частями будет совпадать с отношением между большим из отрезков и общей длиной.

Построим ряд из указанных отношений и попытаемся проанализировать данную последовательность. Числовой ряд получится следующим: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0,619 и так далее. Продолжая, таким образом можно убедиться, что предел сходящейся последовательности действительно будет 0,618. Однако, необходимо заметить и прочие свойства этой закономерности. Здесь цифры как бы идут вразнобой, а вовсе не в порядке возрастания или убывания. Это означает, что данная сходящаяся последовательность монотонной не является. О том, почему это так и пойдёт разговор далее.

Монотонность и ограниченность

Члены числового ряда с увеличением номера могут чётко убывать (если x₁>x₂>x₃>…>x_n>…) или возрастать (если x₁<x₂<x₃<…<x_n<…). В этом случае последовательность называется строго монотонной. Могут наблюдаться также другие закономерности, где числовой ряд будет неубывающим и невозрастающим (x₁≥x₂≥x₃≥…≥x_n≥… или x₁≤x₂≤x₃≤…≤x_n≤…), тогда сходящаяся последовательно монотонна тоже, только уже не в строгом смысле. Хорошим примером первого из указанных вариантов может служить числовой ряд, задаваемый следующей формулой.

Расписав числа данного ряда можно заметить, что любой из его членов, неограниченно приближаясь к 1, никогда не превысит этого значения. В этом случае говорят об ограниченности сходящейся последовательности. Подобное бывает всякий раз, когда находится такое положительное число М, которое оказывается всегда больше любого из членов ряда по модулю. Если числовой ряд обладает признаками монотонности и имеет предел, а следовательно – сходится, то он обязательно наделён таким свойством. Причём обратное не обязательно должно быть верным. Об этом говорит теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

Применение подобных наблюдений на практике оказывается очень полезным. Приведём конкретный пример, исследовав свойства последовательности X_n = n/n+1, и докажем её сходимость. То, что она монотонна легко показать, так как (x_n+1 – x_n) есть число положительное при любых значениях n. Предел последовательности равен числу 1, а значит, соблюдаются все условия вышеуказанной теоремы, называемой также теоремой Вейерштрасса. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности утверждает, что если она имеет предел, то в любом случае оказывается ограниченной. Однако, приведём следующий пример. Числовой ряд X_n = (-1)ⁿ является ограниченным снизу числом -1 и сверху 1. Но данная последовательность не является монотонной, не имеет предела и поэтому не сходится. То есть из ограниченности не всегда следует наличие предела и сходимости. Чтобы это выполнялось необходимо совпадение нижнего и верхнего предела, как в случае коэффициентов Фибоначчи.

Числа и законы Вселенной

Простейшими вариантами сходящейся и расходящейся последовательности являются, пожалуй, числовые ряды X_n = n и X_n = 1/n. Первая из них представляет собой натуральный ряд чисел. Она же является, как уже говорилось, бесконечно большой. Вторая сходящаяся последовательность ограничена, а члены её по величине приближаются к бесконечно малому. Каждая из этих формул олицетворяет одну из сторон многогранной Вселенной, помогая человеку на языке цифр и знаков представить себе и просчитать нечто непознаваемое, недоступное для ограниченного восприятия.

Законы мироздания, начиная от ничтожно малого и кончая невероятно большим, выражает также золотой коэффициент 0,618. Учёные считают, что он заложен в основу сути вещей и используется природой для формирования её частей. Упомянутые уже нами ранее отношения между последующим и предыдущим членами ряда Фибоначчи, не завершают на этом демонстрацию удивительных свойств этого уникального ряда. Если рассмотреть частное от деления предыдущего члена на последующей через один, то получим ряд 0,5; 0, 33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0,382 и так далее. Интересно то, что эта ограниченная последовательность сходится, монотонной она не является, но отношение крайних от определённого члена соседних чисел всегда приблизительно оказывается равным 0,382, что тоже может быть использовано в архитектуре, техническом анализе и других отраслях.

Существуют и другие интересные коэффициента ряда Фибоначчи, все они играют в природе особую роль, а также применяются человеком в практических целях. Математики уверены, что Вселенная развивается по некоей «золотой спирали», формируемой из указанных коэффициентов. С их помощью возможно рассчитать многие явления, происходящие на Земле и в космосе, начиная от роста численности определённых бактерий и кончая движением далёких комет. Подобным же законам подчиняется, как выясняется, код ДНК.

Убывающая геометрическая прогрессия

Существует теорема, утверждающая единственность предела сходящейся последовательности. Это значит, что двух и более пределов у неё существовать не может, что несомненно важно для нахождения её математических характеристик.

Рассмотрим некоторые случаи. Любой числовой ряд, составленный из членов арифметической прогрессии, является расходящимся, за исключением случая с нулевым шагом. Это же касается геометрической прогрессии, знаменатель которой больше 1. Пределами таких числовых рядов являются «плюс» или «минус» бесконечности. Если же знаменатель меньше -1, то никакого предела вообще не существует. Возможны и другие варианты.

Рассмотрим числовой ряд, задаваемой формулой X_n = (1/4)^n-1. С первого взгляда легко понять, что эта сходящаяся последовательность ограничена, потому что является строго убывающей и никаким образом не способна принимать отрицательные значения.

Распишем некоторое число её членов в ряд.

Получится: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0,00390625 и так далее. Достаточно совсем несложных расчётов, чтобы понять, как быстро данная геометрическая прогрессия со знаменателей 0<q<1 уменьшается. В то время как знаменатель членов неограниченно возрастает, сами они превращаются в бесконечно малое. Это значит, что предел числового ряда равен 0. Данный пример ещё раз демонстрирует ограниченность сходящейся последовательности.

Фундаментальные последовательности

Огюстен Луи Коши, французский учёный, явил миру много работ связанных с математическим анализом. Он дал определения таким его понятиям, как дифференциал, интеграл, предел и непрерывность. Исследовал он также основные свойства сходящихся последовательностей. Для того, чтобы понять суть его идей, необходимо обобщить некоторые важные детали.

В самом начале статьи было показано, что есть такие последовательности, для которых существует окрестность, где точки, изображающие члены определённого ряда на числовой прямой, начинают скучиваться, выстраиваясь всё плотнее. При этом расстояние между ними при увеличении номера очередного представителя всё уменьшается, превращаясь в бесконечно малое. Таким образом, оказывается, что в данной окрестности группируется бесконечное число представителей данного ряда, в то время, как за её пределами их насчитывается конечное количество. Такие последовательности именуются фундаментальными.

Знаменитый критерий Коши, созданный французским математиком, однозначно указывает, что наличия подобного свойства достаточно, чтобы доказать, что последовательность сходится. Верно также обратное.

Следует заметить, что данное заключение французского математика представляет по большей части чисто теоретический интерес. Его применение на практике считается достаточно сложным делом, поэтому для выяснения сходимости рядов гораздо важнее доказать существование у последовательности конечного предела. В противном же случае она считается расходящейся.

При решении задач следует также учитывать основные свойства сходящихся последовательностей. Они представлены ниже.

Бесконечные суммы

Такие знаменитые учёные древности, как Архимед, Евклид, Евдокс использовали суммы бесконечных числовых рядов для вычисления длин кривых, объёмов тел и площадей фигур. В частности, именно таким образом удалось узнать площадь параболического сегмента. Для этого была использована сумма числового ряда геометрической прогрессии с q=1/4. Подобным способом находились объёмы и площади других произвольных фигур. Данный вариант назывался методом «исчерпывания». Идея заключалось в том, что исследуемое сложное по формам тело разбивалось на части, которые представляли собой фигуры с легко измеряемыми параметрами. По этой причине нетрудно было вычислить их площади и объёмы, потом же они складывались.

Кстати, похожие задачи очень знакомы современным школьникам и встречаются в заданиях ЕГЭ. Уникальный способ, найденный ещё далёкими предками, является и на сегодняшний день самым простейшим вариантом решения. Даже если частей, на которые разбивается числовая фигура, всего две или три, сложение их площадей всё равно представляет собой сумму числового ряда.

Гораздо позднее древнегреческих учёных Лейбниц и Ньютон, основываясь на опыте мудрых предшественников, познавали закономерности интегрального вычисления. Знания свойств последовательностей помогали им решать дифференциальные и алгебраические уравнения. В настоящее время созданная усилиями многих поколений талантливых учёных теория рядов даёт шанс решить огромное количество математических и практических проблем. А изучение числовых последовательностей составляет основную задачу, решаемую математическим анализом с момента его создания.