Функция аналитическая: вид и особенности. Теория аналитических функций

Аналитическая функция дается локально сходящимся степенным рядом. Обе вещественные и комплексные бесконечно дифференцируемы, но существуют некоторые свойства второй, которые истинны. Функция f, определенная на открытом подмножестве U, R или C, называется аналитической только тогда, когда она задается сходящимся степенным рядом локально.

Определение данного понятия

Комплексные аналитические функции: R (z) = P (z) / Q (z). Здесь P (z) = am zm + am-1 zm-1 + ⋯ + a1 z + a0 и Q (z) = bn zn + bn-1 zn-1 + ⋯ + b1 z + b0. Кроме того, P (z) и Q (z) являются многочленами с комплексными коэффициентами am, am-1, ..., a1, a0, bn, bn-1, ..., b1, b0.

Предположим, что am и bn не равны нулю. А также, что P (z) и Q (z) не имеют общих факторов. R (z) дифференцируема в любой точке C → SC → S, а S - конечное множество внутри C, при которых знаменатель Q (z) обращается в нуль. Максимум двух степеней из числителя и степени знаменателя называется степенью рациональной функции R (z), также как сумма двух и произведение. Кроме того, можно проверить, что с помощью этих операций сложения и умножения пространство удовлетворяет аксиомам поля, и оно обозначается через С (Х). Это важный пример.

Концепция числовых значений для голоморфных значений

Фундаментальная теорема алгебры позволяет рассчитать многочлены P (z) и Q (z), P (Z) = am (z − z1) p1 (z − z2) p2....(z − zr) prP(Z) = am (z − z1) p1 (z − z2) p2....(z − zr) pr и Q (Z) = bn (z − s1) q1 (z − s2) q2....(z − sr) qr. Где показатели обозначают кратности корней, и это дает нам первую из двух важных канонических форм для рациональной функции:

R (Z) = a m (z − z1) p1 (z − z2) p2....(z − zr) / p r bn(z−s1)q1(z−s2)q2....(z−sr)qr. Нули z1, ..., zr числителя так называются в рациональной функции, а s1, ..., sr знаменателя считаются его полюсами. Порядок – это его кратность, как корень указанных выше значений. Поля первой системы являются простыми.

Будем говорить, что рациональная функция R (z) правильна, если:

m = deg P (z) ≤≤ n = degF(o) Q (z) и строго правильная, если m <n. Если R (z) не является строго собственным, то мы можем разделить на знаменатель, чтобы получить R (z) = P1 (z) + R1 (z), где P1 (z) - многочлен, а остаток R1 (z) является строго собственной рациональной функцией.

Аналитичность с дифференцируемостью

Мы знаем, что любая аналитическая функция может быть вещественной или комплексной и разделением бесконечно, которая также называется гладкой, или C∞. Это имеет место для материальных переменных.

При рассматривании комплексных функций, являющихся аналитическими и производными, ситуация сильно отличается. Легко доказать, что в открытом множестве любая, дифференцируемая структурно, функция голоморфна.

Примеры этой функции

Рассмотрим следующие примеры:

1). Все многочлены могут быть вещественными или сложными. Это потому, что для полинома степени (высшей) 'n' переменные больше, чем n в соответствующем разложении в ряд Тейлора, немедленно сливаются в 0 и, следовательно, ряд будет сходиться тривиально. Кроме того, добавление каждого многочлена является рядом Маклорена.

2). Все экспоненциальные функции также аналитичны. Это связано с тем, что все серии Тейлора для них будут сходиться для всех значений, которые могут быть реальными или сложными «х» очень близко к «х0», как в определении.

3). Для любого открытого множества в соответствующих областях тригонометрические, степенные и логарифмические функции также аналитичны.

Пример: выяснить возможные значения i-2i = exp ((2) log (i))

Решение. Для нахождения возможных значений данной функции сначала видно, что, log? (i) = log? 1 + i arg? [Потому что (i) = 0 + i pi2pi2 + 2ππki, для каждого k, принадлежащего целому набору. Это дает, i-2i = exp? (ππ + 4ππk), для каждого k, принадлежащего множеству целых чисел. Этот пример показывает, что комплексное количество zαα также может иметь разные значения, бесконечно похожие на логарифмы. Даже если функции с квадратным корнем могут иметь только при максимальных двух значениях, то они также являются хорошим примером многозначных функций.

Свойства голоморфных систем

Теория аналитических функций следующая:

1). Композиции, суммы или произведения голоморфны.

2). Для функции аналитической ее обратная, если она вовсе не равна нулю, подобная. Кроме того, обратная производная которой не должна быть 0, снова голоморфна.

3). Эта функция непрерывно дифференцируема. Другими словами, можно сказать, что она гладкая. На обратное это утверждение неверно, то есть все бесконечно дифференцируемые функции не являются аналитическими. Это связано с тем, что в некотором смысле они являются разреженными по сравнению со всеми противоположными.

Голоморфная функция с несколькими переменными

С помощью степенных рядов по этим значениям можно определить указанную систему по нескольким показателям. Аналитические функции многих переменных имеют некоторые из тех же свойств, что и с одной переменной. Однако, особенно для сложных показателей, появляются новые и интересные явления при работе в 2 или более измерениях. Например, нулевые множества комплексных голоморфных функций более чем в одной переменной никогда не являются дискретными. Реальная и мнимая части удовлетворяют уравнению Лапласа. То есть, чтобы выполнить аналитическое задание функции необходимы следующие значения и теории. Если z = x + iy, то важным условием, что f (z) является голоморфной, является выполнение уравнений Коши-Римана: где ux - первая частная производная u по x. Поэтому и удовлетворяет уравнению Лапласа. Так же как и аналогичный расчет, показывающий результат v.

Характеристика выполнения неравенств для функций

Обратно, учитывая гармоническую перемененную, она является вещественной частью голоморфной (хотя бы локально). Если пробная форма, то уравнения Коши-Римана будут выполнены. Это соотношение не определяет ψ, а только его приращения. Из уравнения Лапласа для φ следует, что выполняется условие интегрируемости для ψ. И, следовательно, ψ может быть задан линейным знаменателем. Из последнего требования и теоремы Стокса следует, что значение линейного интеграла, соединяющего две точки, не зависит от пути. Получающаяся пара решений уравнения Лапласа называется сопряженными гармоническими функциями. Эта конструкция действительна только локально или при условии, что путь не пересекает сингулярность. Например, если r и θ - полярные координаты. Однако угол θ однозначен только в области, которая не охватывает начало.

Тесная связь между уравнением Лапласа и основными аналитическими функциями означает, что любое решение имеет производные всех порядков и может быть разложено по степенному ряду, по крайней мере внутри круга, не содержащего некоторые особенности. Это резко контрастирует с решениями волнового неравенства, которые обычно имеют меньшую регулярность. Между рядами мощности и теорией Фурье существует тесная связь. Если разложить функцию f в степенной ряд внутри круга радиуса R, это означает, что с подходящими определенными коэффициентами, действительная и мнимая части объединены. Эти тригонометрические значения могут быть расширены, используя множественные угловые формулы.

Информационно-аналитическая функция

Эти значения были представлены в выпуске 2 из 8i и значительно упростили способы, с помощью которых сводные отчеты и запросы OLAP могут быть вычислены в прямом, непроцедурном SQL. До введения аналитических функций управления сложные отчеты могли быть созданы в базе данных с помощью сложных самостоятельных соединений, подзапросов и встроенных представлений, но они были ресурсоемкими и очень неэффективными. Более того, если вопрос, на который нужно ответить, слишком сложный, он может быть написан в PL / SQL (он по своей природе обычно менее эффективен, чем один оператор в системе).

Виды увеличений

Существует три типа расширений, которые попадают под знамя вида аналитической функции, хотя можно было сказать, что первым необходимо обеспечить «голоморфную функциональность», а не быть подобными показателями и видами.

1). Группировка расширений (rollup и cube)

2). Расширения к предложению GROUP BY позволяют предварительно вычисленным наборам результатов, сводкам и обобщениям поставляться с самого сервера Oracle, а не с помощью такого инструмента, как SQL * Plus.

Вариант 1: суммирует зарплату по заданию, а затем каждый отдел, а после весь столбец.

3). Способ 2: объединяет и подсчитывает заработную плату по заданию, каждый отдел и тип вопроса (аналогично отчету о суммарной сумме в SQL * Plus), потом всю строку капитала. Это обеспечит подсчеты для всех столбцов в предложении GROUP BY.

Способы нахождения функции детально

Эти простые примеры демонстрирует мощь методов, специально предназначенных, чтобы найти аналитические функции. Они могут разбивать набор результатов на рабочие группы для вычисления, упорядочивания и агрегирования данных. Вышеприведенные варианты были бы значительно более сложными со стандартным SQL и требовали что-то вроде трех сканирований таблицы EMP вместо одного. В приложении OVER есть три компонента:

1. PARTITION, с помощью которого набор результатов может быть разбит на группы, такие как отделы. Без этого он рассматривается как один раздел.
2. ORDER BY, с помощью которого можно упорядочить группу результатов или разделов. Это необязательно для некоторых голоморфных функций, но является важным и существенным для тех, которые нуждаются в доступе к строкам с каждой стороны текущей, таким как LAG и LEAD.
3. RANGE или ROWS (в AKA), с помощью которого можно сделать режимы включения строк или значений вокруг текущего столбца в своих вычислениях. Окна RANGE работают над значениями, а окна ROWS работают с записями, такими как X пункт с каждой стороны текущего или всех, предшествующих в данном разделе.

Восстановить аналитические функции с помощью приложения OVER. Это также позволяет различать PL / SQL и другие подобные значения, показатели, переменные, которые имеют одно и то же имя, такие как AVG, MIN и MAX.

Описание функциональных параметров

Приложения PARTITION и ORDER BY демонстрируются в первом примере выше. Набор результатов был разделен на отдельные отделы организации. В каждой группировке данные были заказаны ename (с использованием критериев по умолчанию (ASC и NULLS LAST). Приложение RANGE не было добавлено, что означает, что использовали значение по умолчанию RANGE UNABUNDED PRECEDING. Это показывает, что все предыдущие записи в текущем разделе в вычислении для текущей строки.

Самый простой способ понять аналитические функции и окна – это примеры, которые демонстрируют каждый из трех компонентов для системы OVER. Это введение демонстрирует их силу и относительную простоту. Они обеспечивают простой механизм для вычисления наборов результатов, которые до 8i были неэффективными, непрактичными и в некоторых случаях невозможными в «прямом SQL».

Для непосвященных синтаксис может сначала казаться громоздким, но как только будет один или два примера, можно активно искать возможности использовать их. В дополнение к их гибкости и мощности они также чрезвычайно эффективны. Это можно легко продемонстрировать с помощью SQL_TRACE и сравнить эффективность аналитических функций с операторами базы данных, которые были бы необходимы в дни до 8.1.6.

Аналитическая функция маркетинга

Изучает и исследует рынок как таковой. Отношения в этом сегменте не контролируются и являются свободными. При рыночной форме обмена товарами, услугами и другими важными элементами отсутствует управление между торгующими субъектами объектами власти. Чтобы получить максимальную прибыль и успех, необходимо проводить анализ его подразделений. К примеру, спроса и предложения. Благодаря последним двум критериям увеличивается число клиентов.

По сути, анализ и систематическое наблюдение за состоянием потребительских нужд достаточно часто приводит к положительным результатам. В основе маркетинговых исследований лежит аналитическая функция, подразумевающая изучение спроса и предложения, она также следит за уровнем и качеством поставляемых продуктов и услуг, которые реализуются или появляются. В свою очередь, рынок делится на потребительский, мировой, торговый. Кроме всего прочего, помогает исследовать фирменную структуру, в основе которой выявляются прямые и потенциальные конкуренты.

Главной опасностью для начинающего предпринимателя или фирмы считается вступление сразу на несколько видов рынка. Чтобы улучшить спрос на товары или услуги новичка, необходимо полное исследование определенного типа выбранного подразделения, где будет реализована продажа. Помимо этого, важно придумать уникальный продукт, который повысит шансы на коммерческий успех. Таким образом, аналитическая функция является важной переменной не только в узком смысле, но и в обыденном, так как всесторонне и комплексно изучает все сегменты рыночных отношений.