Что такое упругий и неупругий удар

Задачи физики, в которых рассматриваются движущиеся и ударяющиеся друг о друга тела, предполагают для их решения знание законов сохранения импульса и энергии, а также понимание специфики самого взаимодействия. В данной статье дается теоретическая информация об упругом и неупругом ударах. Также приводятся частные случаи решения задач, связанных с данными физическими понятиями.

Количество движения

Перед рассмотрением абсолютно упругого и неупругого удара необходимо дать определение величине, которая известна, как количество движения. Ее принято обозначать латинской буквой p. Вводится в физику она просто: это произведение массы на линейную скорость движения тела, то есть имеет место формула:

p = m*v

Это векторная величина, но для простоты она записана в скалярной форме. В данном понимании количество движения рассматривалось Галилеем и Ньютоном в XVII веке.

Эта величина не выводится. Ее появление в физике связано с интуитивным пониманием наблюдаемых в природе процессов. Например, каждый хорошо представляет, что остановить лошадь, которая бежит со скоростью 40 км/ч, гораздо тяжелее, чем муху, летящую с той же скоростью.

Импульс силы

Количество движения многие называют просто импульсом. Это не совсем верно, поскольку под последним понимают воздействие силы на объект в течение некоторого промежутка времени.

Если сила (F) не зависит от времени ее действия (t), тогда импульс силы (P) в классической механике записывается следующей формулой:

P = F*t

Пользуясь законом Ньютона, перепишем это выражение так:

P = m*a*t,

где F = m*a

Здесь a - сообщаемое телу массой m ускорение. Поскольку действующая сила не зависит от времени, то ускорение является постоянной величиной, которая определяется отношением скорости ко времени, то есть:

P = m*a*t = m*v/t*t = m*v.

Мы получили интересный результат: импульс силы равен количеству движения, которое он сообщает телу. Именно поэтому многие физики просто опускают слово "сила" и говорят импульс, имея в виду количество движения.

Записанные формулы также ведут к одному важному выводу: при отсутствии внешних сил любые внутренние взаимодействия в системе сохраняют ее суммарное количество движения (импульс силы равен нулю). Последняя формулировка известна в качестве закона сохранения импульса изолированной системы тел.

Понятие о механическом ударе в физике

Теперь пришло время перейти к рассмотрению абсолютно упругого и неупругого ударов. Под механическим ударом в физике понимают одновременное взаимодействие двух или более твердых тел, в результате которого происходит обмен энергией и количеством движения между ними.

Основными особенностями удара являются большие действующие силы и малые промежутки времени их приложения. Часто удар характеризуют величиной ускорения, выраженной в виде g для Земли. Например, запись 30*g, говорит, что в результате столкновения сила сообщила телу ускорение 30*9,81 = 294,3 м/с².

Частными случаями столкновения являются абсолютный упругий и неупругий удары (последний также называют эластичным или пластичным). Рассмотрим, что они собой представляют.

Идеальные виды ударов

Упругие и неупругие удары тел являются идеализированными случаями. Первый из них (упругий) означает, что при столкновении двух тел не создается никакой остаточной деформации. Когда одно тело сталкивается с другим, то в некоторый момент времени происходит деформация обоих объектов в области их контакта. Эта деформация служит механизмом передачи энергии (количества движения) между объектами. Если она является абсолютно упругой, то после удара никаких потерь энергии не происходит. В этом случае говорят о сохранении кинетической энергии взаимодействующих тел.

Второй вид ударов (пластический или абсолютно неупругий) означает, что после соударения одного тела о другое, они "слипаются" друг с другом, поэтому после удара оба объекта начинают двигаться как единое целое. В результате этого удара некоторая часть кинетической энергии расходуется на деформацию тел, трение, выделение тепла. При этом виде соударения энергия не сохраняется, но количество движения остается неизменным.

Упругий и неупругий удары - это идеальные частные случаи столкновения тел. В реальной жизни характеристики всех столкновений не относятся ни к одному из этих двух видов.

Абсолютно упругое столкновение

Решим две задачи на упругий и неупругий удар шаров. В этом пункте рассмотрим первый вид столкновения. Так как законы энергии и импульса в этом случае соблюдаются, то запишем соответствующую систему из двух уравнений:

m₁*v₁²+m₂*v₂² = m₁*u₁²+m₂*u₂²;

m₁*v₁ +m₂*v₂ = m₁*u₁ +m₂*u₂.

Эта система используется для решения любых задач с любыми начальными условиями. В данном примере ограничимся частным случаем: пусть массы m₁ и m₂ двух шаров равны. Кроме того, начальная скорость второго шара v₂ равна нулю. Необходимо определить результат центрального упругого столкновения рассматриваемых тел.

С учетом условия задачи, перепишем систему:

v₁² = u₁² + u₂²;

v₁ = u₁ + u₂.

Подставляем второе выражение в первое, получаем:

(u₁ + u₂)² = u₁²+u₂²

Раскрываем скобки:

u₁² + u₂² + 2*u₁*u₂ = u₁² + u₂² => u₁*u₂ = 0

Последнее равенство справедливо, если одна из скоростей u₁ или u₂ равна нулю. Вторая из них не может быть нулевой, поскольку при попадании первого шара во второй, он неминуемо начнет двигаться. Это означает, что u₁ = 0, а u₂ > 0.

Таким образом при упругом столкновении движущегося шара с покоящимся, массы которых одинаковы, первый передает свой импульс и энергию второму.

Неупругий удар

В этом случае шар, который катится, при столкновении со вторым шаром, который покоится, прилипает к нему. Дальше оба тела начинают движение, как одно целое. Поскольку импульс упругих и неупругих ударов сохраняется, то можно записать уравнение:

m₁*v₁ + m₂*v₂ = (m₁ + m₂)*u

Поскольку в нашей задаче v₂=0, то конечная скорость системы из двух шаров определиться следующим выражением:

u = m₁*v₁ / (m₁ + m₂)

В случае равенства масс тел, получаем еще более простое выражение:

u = v₁/2

Скорость двух слипшихся шаров будет в два раза меньше, чем эта величина для одного шара до момента столкновения.

Коэффициент восстановления

Эта величина является характеристикой энергетических потерь во время столкновения. То есть она описывает, насколько упругим (пластичным) является рассматриваемый удар. Ее ввел в физику Исаак Ньютон.

Получить выражение для коэффициента восстановления не представляет никакого труда. Положим, что столкнулись два тела массами m₁ и m₂. Пусть их начальные скорости были равны v₁ и v₂, а конечные (после столкновения) - u₁ и u₂. Полагая, что удар упругий (сохраняется кинетическая энергия), запишем два уравнения:

m₁*v₁² + m₂*v₂² = m₁*u₁² + m₂*u₂²;

m₁*v₁ + m₂*v₂ = m₁*u₁ + m₂*u₂.

Первое выражение - это закон сохранения энергии кинетической, второе - сохранение количества движения.

После ряда упрощений можно получить формулу:

v₁ + u₁= v₂ + u₂.

Ее в виде отношения разности скоростей можно переписать следующим образом:

1 = -1*(v₁-v₂) / (u₁-u₂).

Таким образом, взятое с обратным знаком отношение разности скоростей двух тел до столкновения к аналогичной разности для них после столкновения равно единице, если имеет место абсолютно упругий удар.

Можно показать, что последняя формула для неупругого удара даст значение 0. Поскольку законы сохранения при упругом и неупругом ударе для кинетической энергии разные (она сохраняется только при упругом столкновении), то полученная формула - удобный коэффициент для характеристики вида удара.

Коэффициент восстановления K имеет вид:

K = -1*(v₁-v₂) / (u₁-u₂).

Расчет коэффициента восстановления для "прыгающего" тела

В зависимости от характера удара, коэффициент K может существенно отличаться. Рассмотрим, как можно его рассчитать, для случая "прыгающего" тела, например, футбольного мяча.

Сначала мяч держат на некоторой высоте h₀ над поверхностью земли. Затем его отпускают. Он падает на поверхность, отскакивает от нее и поднимается на некоторую высоту h, которую фиксируют. Поскольку скорость поверхности земли до и после ее соударения с мячом была равна нулю, то формула для коэффициента будет иметь вид:

K = v₁/u₁

Здесь v₂=0 и u₂=0. Знак минус исчез, потому что скорости v₁ и u₁ направлены противоположно. Поскольку падение и подъем мяча является движением равноускоренным и равнозамедленным, то для него справедлива формула:

h = v²/(2*g)

Выражая скорость, подставляя значения начальной высоты и после отскока мяча в формулу для коэффициента K, получим конечное выражение: K = √(h/h₀).