Прямая треугольная призма. Формулы объема и площади поверхности. Решение геометрической задачи

В старших классах школ после изучения свойств фигур на плоскости переходят к рассмотрению пространственных геометрических объектов таких, как призмы, сферы, пирамиды, цилиндры и конусы. В данной статье дадим максимально полную характеристику прямой треугольной призме.

Что собой представляет треугольная призма?

Начнем статью с определения фигуры, о которой дальше пойдет речь. Призма с точки зрения геометрии является фигурой в пространстве, образованной двумя одинаковыми n-угольниками, находящимися в параллельных плоскостях, одинаковые углы которых соединены прямыми отрезками. Эти отрезки называются боковыми ребрами. Вместе со сторонами основания они образуют боковую поверхность, которая в общем случае представлена параллелограммами.

Два n-угольника - это основания фигуры. Если боковые ребра им перпендикулярны, то говорят о прямой призме. Соответственно, если число сторон n многоугольника в основаниях равно трем, то такая фигура называется треугольной призмой.

Треугольная прямая призма показана выше на рисунке. Эта фигура также называется правильной, поскольку в ее основаниях лежат равносторонние треугольники. Длина бокового ребра фигуры, обозначенная на рисунке буквой h, называется ее высотой.

Рисунок показывает, что призма с треугольным основанием образована пятью гранями, две из которых - равносторонние треугольники, а три - одинаковые прямоугольники. Помимо граней, призма обладает шестью вершинами при основаниях и девятью ребрами. Количества рассмотренных элементов связаны друг с другом теоремой Эйлера:

число ребер = число вершин + число сторон - 2.

Площадь прямой треугольной призмы

Выше мы выяснили, что рассматриваемая фигура образована пятью гранями двух видов (два треугольника, три прямоугольника). Все эти грани образуют полную поверхность призмы. Их суммарная площадь является площадью фигуры. Ниже показана развертка треугольной призмы, которая может быть получена, если от фигуры сначала отрезать два основания, а затем, разрезать вдоль одного ребра и развернуть боковую поверхность.

Приведем формулы для определения площади поверхности этой развертки. Начнем с оснований прямой треугольной призмы. Поскольку представляют они треугольники, то площадь S₃ каждого из них может быть найдена так:

S₃ = 1/2*a*h_a.

Здесь a - это сторона треугольника, h_a - опущенная из вершины треугольника высота на эту сторону.

Если треугольник является равносторонним (правильным), то формула для S₃ зависит только от одного параметра a. Она имеет вид:

S₃ = √3/4*a².

Это выражение можно получить, если рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный отрезками a, a/2, h_a.

Площадь оснований S_o для правильной фигуры в два раза больше величины S₃:

S_o = 2*S₃ = √3/2*a².

Что касается площади боковой поверхности S_b, то вычислить ее не сложно. Для этого достаточно умножить на три площадь одного прямоугольника, образованного сторонами a и h. Соответствующая формула имеет вид:

S_b = 3*a*h.

Таким образом, площадь правильной призмы с основанием треугольным находится по следующей формуле:

S = S_o + S_b = √3/2*a² + 3*a*h.

Если призма является прямой, но неправильной, тогда для расчета ее площади следует отдельно складывать площади прямоугольников, которые друг другу не будут равны.

Определение объема фигуры

Под объемом призмы понимают ограниченное ее сторонами (гранями) пространство. Рассчитать объем прямой треугольной призмы намного проще, чем площадь ее поверхности. Для этого достаточно знать площадь основания и высоту фигуры. Поскольку высотой h прямой фигуры является длина ее бокового ребра, а как рассчитывать площадь основания, мы привели в предыдущем пункте, то остается умножить друг на друга эти две величины, чтобы получить искомый объем. Формула для него принимает вид:

V = S₃*h.

Отметим, что произведения площади одного основания на высоту даст объем не только прямой призмы, но также наклонной фигуры и даже цилиндра.

Решение задачи

Стеклянные треугольные призмы используют в оптике для изучения спектра электромагнитного излучения благодаря явлению дисперсии. Известно, что стеклянная правильная призма имеет длину стороны основания 10 см и длину ребра 15 см. Чему равна площадь ее стеклянных граней, и какой объем в себе она заключает?

Для определения площади воспользуемся формулой, записанной в статье. Имеем:

S = √3/2*a² + 3*a*h = √3/2*10² + 3*10*15 = 536,6 см².

Для определения объема V также воспользуемся записанной выше формулой:

V = S₃*h = √3/4*a²*h = √3/4*10²*15 = 649,5 см³.

Несмотря на то что ребра призмы имеют длины 10 см и 15 см, объем фигуры составляет всего 0,65 литра (куб со стороной 10 см имеет объем 1 литр).