Что такое полином и чем он полезен

Полином, или многочлен - одна из базовых алгебраических структур, которая встречается в школьной и высшей математике. Изучение полинома - важнейшая тема в курсе алгебры, поскольку с одной стороны многочлены достаточно просты по сравнению с другими типами функций, с другой - широко применяются в решении задач математического анализа. Итак, что такое полином?

Определение

Определение термину полином можно дать через понятие монома, или одночлена.

Мономом называют выражение вида сх₁ⁱ¹x₂ⁱ²...x_nⁱⁿ. Здесь с - константа, x₁, x₂, ... x_n - переменные, i1, i2, ... in - показатели степеней переменных. Тогда полином - любая конечная сумма мономов.

Чтобы понять, что такое полином, можно посмотреть на конкретные примеры.

Квадратный трехчлен, подробно рассматриваемый в курсе математики 8-го класса, - это полином: ax²+bx+c.

Многочлен с двумя переменными может выглядеть так: х²-ху+у². Такой полином называют еще неполным квадратом разности х и у.

Классификации полиномов

По степени полинома

Для каждого монома в составе многочлена находят сумму показателей степени i1+i2+...+in. Наибольшую из сумм называют показателем степени полинома, а одночлен, соответствующий этой сумме, - старшим членом.

Кстати, любую константу можно считать многочленом степени ноль.

Приведенные и неприведенные полиномы

Если у старшего члена коэффициент с равен 1, то многочлен приведен, иначе - нет.

Например, выражение х²+2х+1 - приведенный полином, а 2х²+2х+1 - неприведенный.

Однородные и неоднородные полиномы

Если степени всех членов полинома равны, то говорят, что такой полином однороден. Все остальные полиномы считаются неоднородными.

Однородные многочлены: х²-ху+у², xyz+х³+у³. Неоднородные: х+1, х²+у.

Существуют специальные названия для полинома из двух и трех членов: бином и трехчлен соответственно.

В отдельную категорию выделяют многочлены одной переменной.

Применение полинома одной переменной

Многочлены одной переменной хорошо приближают непрерывные функции различной сложности от одного аргумента.

Дело в том, что такие полиномы можно рассматривать как частичные суммы степенного ряда, а непрерывную функцию можно представить в виде ряда со сколь угодно малой погрешностью. Ряды разложения функции называют рядами Тейлора, а их частичные суммы в виде полиномов - многочленами Тейлора.

Изучить графически поведение функции, аппроксимировав ее некоторым многочленом, зачастую легче, чем исследовать ту же функцию непосредственно или с помощью ряда.

Легко искать производные многочленов. Для нахождения корней у полиномов 4-й степени и ниже существуют готовые формулы, а для работы с более высокими степенями используются приближенные алгоритмы высокой точности.

Существует и обобщение описанных многочленов для функций многих переменных.

Бином Ньютона

Знаменитыми полиномами являются полиномы Ньютона, выведенные ученым для нахождения коэффициентов выражения (х+у)ⁿ.

Достаточно посмотреть на несколько первых степеней разложения бинома, чтобы убедиться в нетривиальности формулы:

(х+у)²=х²+2ху+у²;

(х+у)³=х³+3х²у+3ху²+у³;

(х+у)⁴=х⁴+4х³у+6х²у²+4ху³+у⁴;

(х+у)⁵=х⁵+5х⁴у+10х³у²+10х²у³+5ху⁴+у⁵.

Для каждого коэффициента существует выражение, позволяющее его вычислить. Однако запоминать громоздкие формулы и каждый раз производить необходимые арифметические операции было бы крайне неудобно для тех математиков, которым часто требуются подобные разложения. Им значительно облегчил жизнь треугольник Паскаля.

Фигура строится по следующему принципу. В вершине треугольника пишется 1, а в каждой следующей строке становится на одну цифру больше, по краям ставят 1, а середина строчки заполняется суммами двух соседних чисел из предыдущей.

При взгляде на иллюстрацию все становится понятно.

Разумеется, приведенными примерами, наиболее широко известными, применение многочленов в математике не ограничивается.