Как найти значение выражения с корнями: типы задач, методы решения, примеры

Умение работать с числовыми выражениями, содержащими квадратный корень, необходимо для успешного решения ряда задач из ОГЭ и ЕГЭ. Как правило, на этих экзаменах достаточно базового представления о том, что такое извлечение корня и как оно осуществляется на практике.

Определение

Корень степени n из числа X - это такое число x, для которого верно равенство: xⁿ = X.

Найти значение выражения с корнем - это значит найти x при известных X и n.

Квадратный корень или, что то же самое, корень второй степени из X - число x, для которого выполнено равенство: x² = X.

Обозначение: ∛Х. Здесь 3 - степень корня, Х - подкоренное выражение. Знак '√' часто называют радикалом.

Если над корнем не стоит число, указывающее на степень, то по умолчанию подразумевается степень 2.

В школьном курсе для четных степеней обычно не рассматривают отрицательные корни и подкоренные выражения. Например, не существует √-2, а для выражения √4 верным ответом считается 2, несмотря на то, что (-2)² тоже равняется 4.

Рациональность и иррациональность корней

Наиболее простое из возможных заданий c корнем - найти значение выражения либо проверить его на рациональность.

Например, вычислить значения √25; ∛8; ∛-125:

• √25 = 5, так как 5² = 25;
• ∛8 = 2, так как 2³ = 8;
• ∛ - 125 = -5, так как (-5)³ = -125.

Ответы в приведенных примерах - это рациональные числа.

При работе с выражениями, не содержащими буквенных констант и переменных, рекомендуется всегда выполнять подобную проверку с помощью обратной операции возведения в натуральную степень. Нахождение числа x в n-й степени эквивалентно вычислению произведения n множителей x.

Существует множество выражений с корнем, значение которых иррационально, то есть записывается в виде бесконечной непериодической дроби.

По определению рациональные - это те, что можно выразить обыкновенной дробью, а иррациональные - все остальные действительные числа.

К таким относятся √24, √0,1, √101.

Если в задачнике сказано: найдите значение выражения с корнем из 2, 3, 5, 6, 7 и т. д., то есть из тех натуральных чисел, которые не содержатся в таблице квадратов, то в правильном ответе √2 может присутствовать (когда не оговорено обратное).

Проведение оценки

В задачах с открытым ответом, если найти значение выражения с корнем и записать его рациональным числом невозможно, результат следует оставить в виде радикала.

Некоторые задания могут потребовать проведения оценки. Например, сравнить 6 и √37. Для решения требуется возвести оба числа в квадрат и сравнить результаты. Из двух чисел больше то, чей квадрат больше. Данное правило работает для всех положительных чисел:

• 6² = 36;
• 37² = 37;
• 37 > 36;
• значит, √37 > 6.

Точно так же решаются задачи, в которых несколько чисел надо расставить в порядке возрастания или убывания.

Пример: расставить по возрастанию 5, √6, √48, √√64.

После возведения в квадрат имеем: 25, 6, 48, √64. Можно было бы еще раз возвести все числа в квадрат, для того чтобы сравнить их с √64, но он равен рациональному числу 8. 6 < 8 < 25 < 48, так что решение такое: √6 < √√64 < 5 < √48.

Упрощение выражения

Бывает так, что найти значение выражения с корнем нельзя, поэтому его надо упростить. В этом помогает следующая формула:

√ab = √a√b.

Корень из произведения двух чисел равен произведению их корней. Данная операция также потребует умения раскладывать число на множители.

На начальном этапе для ускорения работы рекомендуется иметь под рукой таблицу простых чисел и квадратов. Эти таблицы при частом использовании в дальнейшем запомнятся.

Например, √242 - иррациональное число, можно преобразовать так:

• 242 = 2 × 121;
• √242 = √(2 × 121);
• √2 × √121 = √2 × 11.

Обычно полученный результат записывают как 11√2 (читается: одиннадцать корней из двух).

Если трудно увидеть сразу, на какие два множителя нужно разложить число, чтобы из одного из них извлекался натуральный корень, можно пользоваться полным разложением на простые множители. Если одно и то же простое число в разложении встретилось два раза, оно выносится за знак корня. Когда множителей много, можно извлекать корень в несколько действий.

Пример: √2400 = √(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Число 2 встретилось в разложении 2 раза (на самом деле более двух раз, но нас пока интересуют два первых вхождения в разложение).

Выносим его из под знака корня:

√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5) = 2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).

Повторяем такое же действие:

2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5) = 2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5).

В оставшемся подкоренном выражении 2 и 3 встречаются по одному разу, значит, осталось вынести множитель 5:

2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5) = 5 × 2 × 2√(2 × 3);

и выполнить арифметические действия:

5 × 2 × 2√(2 × 3) = 20√6.

Итак, получаем √2400 = 20√6.

Если в задании не прописано явно: "найдите значение выражения с квадратным корнем", то выбор, в каком виде оставить ответ (извлекать ли корень из-под радикала), остается за учеником и может зависеть от решаемой задачи.

На первых порах высокие требования предъявляются к оформлению заданий, проведению вычислении, в том числе устному или письменному, без использования технических средств.

Только после хорошего усвоения правил работы с иррациональными числовыми выражениями имеет смысл переходить к более трудным буквенным выражениям и к решению иррациональных уравнений и вычислению промежутка возможных значений выражения под радикалом.

С таким типом задач ученики сталкиваются на ЕГЭ по математике, а также на первом курсе профильных вузов при изучении математического анализа и смежных дисциплин.