Уравнение Менделеева-Клапейрона для решения задач по термодинамике

При решении термодинамических задач по физике, в которых возникают переходы между различными состояниями идеального газа, уравнение Менделеева-Клапейрона является важной опорной точкой. В данной статье рассмотрим, что это за уравнение и как им можно пользоваться при решении практических задач.

Газы реальные и идеальные

Газовое состояние материи представляет собой одно из существующих четырех агрегатных состояний вещества. Примерами чистых газов являются водород и кислород. Газы могут смешиваться друг с другом в произвольных пропорциях. Всем известный пример смеси - воздух. Названные газы являются реальными, однако при определенных условиях они могут считаться идеальными. Идеальным считается газ, который соответствует следующим характеристикам:

• Частицы, образующие его, не взаимодействуют друг с другом.
• Столкновения между отдельными частицами и между частицами и стенками сосудов носят абсолютно упругий характер, то есть количество движения и кинетическая энергия до и после столкновения сохраняется.
• Частицы не обладают объемом, но имеют некоторую массу.

Все реальные газы при температурах порядка и выше комнатной (больше 300 К) и при давлениях порядка и ниже одной атмосферы (10⁵ Па) можно считать идеальными.

Описывающие состояние газа термодинамические величины

Под термодинамическими величинами понимают макроскопические физические характеристики, которые однозначно определяют состояние системы. Существует три базовых величины:

• температура T;
• объем V;
• давление P.

Температура отражает интенсивность движения атомов и молекул в газе, то есть она определяет кинетическую энергию частиц. Измеряется эта величина в Кельвинах. Для перевода из градусов Цельсия в Кельвины следует использовать равенство:

T(K) = 273,15 + T(^oC).

Объем - способность каждого реального тела или системы занимать часть пространства. Выражается в СИ в метрах кубических (м³).

Давление - макроскопическая характеристика, которая в среднем описывает интенсивность столкновений частиц газа со стенками сосуда. Чем больше температура и выше концентрация частиц, тем больше будет давление. Выражается оно в паскалях (Па).

Далее будет показано, что уравнение Менделеева-Клапейрона в физике содержит еще один макроскопический параметр - количество вещества n. Под ним полагают число элементарных единиц (молекул, атомов), которое равно числу Авогадро (N_A = 6,02 * 10²³). Выражается количество вещества в молях.

Уравнение состояния Менделеева-Клапейрона

Запишем сразу это уравнение, а затем объясним его значение. Это уравнение имеет следующий общий вид:

P * V = n * R * T.

Произведение давления на объем идеального газа является пропорциональным произведению количества вещества в системе на абсолютную температуру. Коэффициент пропорциональности R называется универсальной газовой постоянной. Ее значение равно 8,314 Дж/(моль*К). Физический смысл величины R заключается в том, что она равна работе, которую совершает при расширении 1 моль газа в случае его нагрева на 1 К.

Записанное выражение также называется уравнением состояния идеального газа. Его важность состоит в том, что оно не зависит от химического типа частиц газа. Так, это могут быть молекулы кислорода, атомы гелия или вообще газовая воздушная смесь, для всех этих веществ будет справедливо рассматриваемое уравнение.

Оно может быть записано в других формах. Приведем их:

P * V = m / M * R * T;

P = ρ / M * R * T;

P * V = N * k_B * T.

Здесь m - масса газа, ρ - его плотность, M - молярная масса, N - число частиц в системе, k_B - постоянная Больцмана. В зависимости от условия задачи можно использовать любую форму записи уравнения.

Краткая история получения уравнения

Уравнение Клапейрона-Менделеева впервые было получено в 1834 году Эмилем Клапейроном в результате обобщения законов Бойля-Мариотта и Шарля-Гей-Люссака. При этом закон Бойля-Мариотта был известен уже во второй половине XVII века, а закон Шарля-Гей-Люссака впервые был опубликован в начале XIX века. Оба закона описывают поведение закрытой системы при фиксированном одном термодинамическом параметре (температуре или давлении).

Заслуга Д. Менделеева при записи современной формы уравнения идеального газа заключается в том, что он впервые заменил ряд констант одной единственной величиной R.

Отметим, что в настоящее время уравнение Клапейрона-Менделеева может быть получено теоретически, если рассмотреть систему с точки зрения статистической механики и применить положения молекулярно-кинетической теории.

Частные случаи уравнения состояния

Существует 4 частных закона, которые следуют из уравнения состояния идеального газа. Остановимся кратко на каждом из них.

Если в закрытой системе с газом поддерживать постоянную температуру, то любое увеличение в ней давления вызовет пропорциональное уменьшение объема. Этот факт может быть записан математически в таком виде:

P * V = const при T, n = const.

Этот закон носит фамилии ученых Роберта Бойля и Эдма Мариотта. Графиком функции P(V) является гипербола.

Если в закрытой системе зафиксировать давление, то любое увеличение температуры в ней приведет к пропорциональному возрастанию объема, то есть:

V / T = const при P, n = const.

Описанный этим уравнением процесс называется изобарным. Он носит фамилии французских ученых Шарля и Гей-Люссака.

Если в закрытой системе объем не меняется, то процесс перехода между состояниями системы называется изохорным. Во время него любое повышение давления приводит к аналогичному повышению температуры:

P / T = const при V, n = const.

Это равенство получило название закона Гей-Люссака.

Графиками изобарного и изохорного процессов являются прямые линии.

Наконец, если зафиксировать макроскопические параметры (температуру и давление), тогда всякое увеличение количества вещества в системе приведет к пропорциональному возрастанию его объема:

n / V = const при P, T = const.

Это равенство называется принципом Авогадро. Оно лежит в основе закона Дальтона для идеальных газовых смесей.

Решение задачи

Уравнение Менделеева-Клапейрона удобно использовать для решения различных практических задач. Приведем пример одной из них.

Кислород массой 0,3 кг находится в баллоне объемом 0,5 м³ при температуре 300 К. Как изменится давление газа, если температуру увеличить до 400 К?

Полагая кислород в баллоне идеальным газом, воспользуемся уравнением состояния для вычисления начального давления, имеем:

P₁ * V = m / M * R * T₁;

P₁ = m * R * T₁ / (M * V) = 0,3 * 8,314 * 300 / (32 * 10^-3 * 0,5) = 46766,25 Па.

Теперь вычислим давление, при котором газ будет находиться в баллоне, если поднять температуру до 400 К, получаем:

P₂ = m * R * T₂ / (M * V) = 0,3 * 8,314 * 400 / (32 * 10^-3 * 0,5) = 62355 Па.

Изменение давления при нагреве составит:

ΔP = P₂ - P₁ = 62355 - 46766,25 = 15588,75 Па.

Полученное значение ΔP соответствует 0,15 атмосферы.