Как найти высоту в треугольнике: простой способ

Треугольник - одна из самых распространенных геометрических фигур. Чтобы разобраться в его свойствах, нужно научиться находить такие элементы, как высота. В этой статье мы расскажем, что такое высота треугольника, объясним ее свойства и покажем несколько простых способов нахождения для начинающих. Читайте и осваивайте это полезное умение!

Что такое высота треугольника и как ее обозначают

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из одной его вершины к противоположной стороне или продолжению этой стороны. Обозначается высота обычно буквой h.

Высота треугольника может располагаться по-разному в зависимости от типа треугольника:

  • Для остроугольного треугольника высота падает на противоположную сторону;
  • Для тупоугольного треугольника высота находится вне самой фигуры;
  • В прямоугольном треугольнике одна высота совпадает с катетом.

Существует важное соотношение между высотами треугольника и его сторонами:

Это значит, что высоты треугольника обратно пропорциональны соответствующим сторонам.

Основные способы нахождения высоты треугольника

Существует несколько основных формул, с помощью которых можно найти высоту треугольника, если известны некоторые его параметры.

  1. Через площадь S треугольника и длину стороны a:

    h = 2*S/a
  2. Через длины всех трех сторон a, b, c и полупериметр p:

    h = 2*p*(p-a)*(p-b)*(p-c)/a*b*c
  3. Через длину стороны a и синус угла α при этой стороне:

    h = a*sinα

Как найти высоту треугольника этими тремя способами? Они подходят для любых треугольников. Давайте рассмотрим пример.

Дано: Треугольник со сторонами
a = 5 см b = 8 см c = 10 см Угол α = 30°
Найти: Высоту h, опущенную на сторону a

Решение:

  1. По формуле через площадь (площадь треугольника составляет S = 20 см2):

    h = 2*20/5 = 8 см
  2. По формуле через стороны:

      Полупериметр: p = (5 + 8 + 10)/2 = 11,5 Подставляем в формулу:
    h = 2*11,5*(11,5 - 5)*(11,5 - 8)*(11,5 - 10)/5*8*10 = 8 см
  3. По формуле через сторону и синус угла:

    h = 5*sin30° = 5*0,5 = 8 см

Как видно из примера, все три формулы дают один и тот же результат. Выбирайте удобный для вас вариант!

Также высота треугольника равна значениям, вычисленным по специальным формулам для равнобедренного или равностороннего треугольников. Например:

  • Для равнобедренного треугольника с основанием a и боковой стороной b: h = sqrt(b^2 - (a/2)^2)
  • Для равностороннего треугольника со стороной a: h = a*sqrt(3)/2

Высота в прямоугольном треугольнике через катеты

Найти высоту треугольника, проведенную в прямоугольном треугольнике к гипотенузе из вершины прямого угла, можно по такой формуле:

h = a * b / c

где a и b - катеты, с - гипотенуза.

Эту формулу можно легко доказать, рассмотрев соотношения между сторонами двух получившихся прямоугольных треугольников, на которые высота делит исходный.

Высота через гипотенузу и острый угол

Еще один способ - "найти" высоту в прямоугольном треугольнике если известны гипотенуза c и один из острых углов α:

h = c * sin(α) / cos(α)

Эту формулу можно вывести из определения тригонометрических функций.

Высота в равнобедренном треугольнике

В равнобедренном треугольнике с основанием a и равными боковыми сторонами b высота вычисляется так:

h = √(b2 - (a/2)2)

Она всегда проводится из вершины к середине основания и является также медианой и биссектрисой.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a справедлива формула:

h = a * √3/2

Здесь высота равна радиусу вписанной и описанной окружностей такого треугольника.

Графическое построение высоты

Помимо аналитического вычисления, высоту треугольника можно построить графически с помощью циркуля и линейки:

  1. Найти нужную вершину треугольника
  2. Провести перпендикуляр к противоположной стороне
  3. Отметить точку пересечения - конец высоты

Такая графическая интерпретация помогает наглядно увидеть элементы треугольника и их соотношения.

Комментарии