Что такое частота Найквиста и как ее определить?

Многие слышали термин "частота Найквиста", но далеко не все понимают его смысл и практическое применение. А между тем, это фундаментальное понятие лежит в основе цифровой обработки сигналов и позволяет избежать искажений при переводе аналоговых сигналов в цифровую форму. Давайте разберемся, что такое частота Найквиста, откуда взялось это название, и почему так важно учитывать ее при дискретизации сигналов.

Определение частоты Найквиста

Итак, частота Найквиста - это половина от частоты дискретизации аналогового сигнала при его переводе в цифровую форму. Другими словами, если мы берем отсчеты сигнала с некоторой частотой F_д, то частота Найквиста равна F_н = F_д/2.

Такое название появилось в честь американского инженера Гарри Найквиста, который в 1924 году опубликовал статью о предельной скорости передачи данных по телеграфным каналам связи. Он показал, что для надежной передачи информации без искажений частота передаваемого сигнала не должна превышать половину частоты дискретизации.

Из теоремы Котельникова следует, что при дискретизации аналогового сигнала потерь информации не будет только в том случае, если (спектральная плотность) наивысшая частота полезного сигнала равна половине или меньше частоты дискретизации

Это утверждение тесно связано с теоремой Котельникова (также известной как теорема отсчетов), согласно которой любой аналоговый сигнал с ограниченным спектром можно полностью восстановить по последовательности его отсчетов, если частота дискретизации как минимум в 2 раза выше максимальной частоты в спектре сигнала.

Вычисление частоты Найквиста

Из определения частоты Найквиста напрямую следует формула для ее вычисления:

F_н = F_д/2

где F_н - частота Найквиста, F_д - частота дискретизации сигнала (частота сэмплирования).

Например, если мы оцифровываем аудиосигнал с частотой дискретизации 44100 Гц, то частота Найквиста в этом случае составит 22050 Гц. Это означает, что все частотные составляющие исходного аналогового сигнала выше 22050 Гц будут безвозвратно утеряны при записи в цифровом виде.

При выборе частоты дискретизации нужно учитывать реальные свойства аналоговых сигналов и характеристики устройств оцифровки. Для минимизации искажений рекомендуется выбирать F_д с запасом 20-50% относительно максимальной частоты в спектре сигнала.

Значение частоты Найквиста

Главная роль частоты Найквиста заключается в предотвращении эффекта наложения спектров, или алиасинга. Этот эффект возникает, когда частоты аналогового сигнала превышают половину частоты дискретизации и "накладываются" на низкочастотный спектр. В результате при восстановлении сигнала возникают несуществующие в исходном сигнале гармоники, что приводит к сильным искажениям.

Чем выше частота Найквиста по отношению к спектру сигнала, тем лучше сохраняется форма и качество сигнала:

• При F_max < F_н сигнал восстанавливается идеально
• При F_max = F_н возможны искажения амплитуды и фазы
• При F_max > F_н происходит сильное искажение спектра (алиасинг)

Кроме того, частота Найквиста определяет максимально возможную скорость передачи данных по каналу связи без искажений. Чем выше F_н, тем быстрее можно передавать информацию. Поэтому при проектировании систем сбора и обработки данных важно грамотно выбирать частоту дискретизации с необходимым запасом.

Противоподменный фильтр

Для подавления спектральных составляющих сигнала выше частоты Найквиста перед дискретизацией применяют специальные противоподменные фильтры (антиэлайсинговые фильтры). Они выполняют "сглаживание" амплитудно-частотной характеристики сигнала, отсекая высокочастотные составляющие.

Идеальная амплитудно-частотная характеристика такого фильтра имеет "колоколообразную" форму с резким спадом амплитуды на частоте, равной F_н. Однако на практике создать фильтр с такими резкими спадами крайне сложно, поэтому приходится идти на компромиссы.

Использование фильтров с пологим спадом амплитуды приводит к эффектам "растекания" спектра и "закольцовывания" сигнала во временной области. Это также вносит искажения при восстановлении сигнала. Поэтому при выборе фильтра нужно учитывать допустимый уровень искажений для конкретной задачи.

Правило выборки с запасом

На практике при выборе частоты дискретизации всегда рекомендуется закладывать определенный запас относительно максимальной частоты сигнала. Это позволяет компенсировать недостатки реальных фильтров и избежать "растекания" спектра сигнала в область частот выше F_н.

Например, в аудиотехнике часто используется правило, что частота дискретизации должна превышать максимальную частоту сигнала как минимум в 2-2.5 раза. То есть при максимальной частоте в спектре 20 кГц выбирают частоту дискретизации 44.1 или 48 кГц.

Выбор бόльшего шага дискретизации, чем требуется по теореме Найквиста, позволяет получить меньшие искажения при фиксированных характеристиках фильтра. Однако чрезмерное увеличение частоты дискретизации приводит к ненужной перегрузке каналов передачи данных.

Влияние шума квантования

Помимо частотных искажений, на качество оцифровки аналоговых сигналов влияет также шум квантования. Он возникает из-за ограниченной разрядности представления цифровых отсчетов в памяти ЭВМ и устройств ЦОС.

С уменьшением шага квантования уровней амплитуды сигнала шум квантования уменьшается. Но при этом возрастает объем данных при той же длительности сигнала. Поэтому нужно выбирать оптимальный шаг с учетом допустимого уровня шума.

Влияние полосы пропускания тракта

При передаче оцифрованных данных также важно учитывать полосу пропускания канала связи или тракта обработки сигнала. Если полоса пропускания недостаточна, часть информации может теряться из-за отсутствия ресурса для ее передачи.

С другой стороны, завышенные требования к полосе ведут к удорожанию аппаратуры. Поэтому этот параметр также должен выбираться из условия разумного компромисса между качеством и стоимостью.