Вычисление двойных интегралов: полное руководство для начинающих

Двойные интегралы на первый взгляд кажутся сложными для понимания и вычисления. На самом деле, придерживаясь определенного алгоритма и имея практический опыт, их вычисление не так уж и трудно.

Что такое двойной интеграл и где он применяется

Двойной интеграл - это интеграл от функции двух переменных по некой области на плоскости или в пространстве. Обычно двойной интеграл записывают так:

Где f(x,y) - функция двух переменных x и y, D - область интегрирования, dx и dy - элементарные площадки.

Двойной интеграл имеет важный геометрический смысл - он позволяет найти объем, площадь, статистические моменты и другие величины.

Например, если D - некоторая плоская область, а f(x,y)=1, то двойной интеграл численно равен площади этой области D. А если функция f(x,y,z) интегрируется по некоторому телу в пространстве и равна 1, то результатом будет объем этого тела.

По сравнению с обычным интегралом двойной интеграл:

• позволяет работать с функциями двух и более переменных;
• дает больше возможностей для приложений в геометрии, физике;
• но и требует больше вычислительных затрат, особенно при ручном счете.

Вычисление двойного интеграла по прямоугольнику

Рассмотрим самый простой вариант - когда область интегрирования D является прямоугольником. Например:

В этом случае двойной интеграл записывается так:

Здесь x меняется от a до b, а y - от c до d. Чтобы вычислить такой интеграл, его нужно представить в виде повторного (вложенного) интеграла:

Сначала вычисляется внутренний интеграл по y от c до d, где x считается константой. Полученная функция одной переменной x интегрируется от a до b.

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах по произвольной области

Если область интегрирования не является прямоугольником, а имеет произвольную форму, вычисления усложняются.

Например, пусть дан двойной интеграл по области D, ограниченной параболой и прямой (см. рисунок).

Чтобы вычислить такой интеграл, нужно:

1. Построить область интегрирования D на чертеже;
2. Выбрать порядок интегрирования (направление движения внутри области);
3. Расставить соответствующие пределы интегрирования;
4. Перейти к повторному интегралу;
5. Вычислить сначала внутренний, а затем внешний интеграл.

Основная сложность при этом - правильный выбор пределов интегрирования исходя из границ области D. Это приходит с опытом решения подобных задач.

Другой подход - использование замены переменных, чтобы привести произвольную область к более простому виду.

Двойной интеграл в полярных координатах

Иногда бывает удобно перейти к полярной системе координат. Например, если область интегрирования имеет форму круга, сектора или кольца.

Для перехода от декартовых координат x, y к полярным r, φ используется следующая формула:

Здесь J(r,φ) - якобиан преобразования.

Порядок вычисления двойного интеграла в полярных координатах такой же, как и в декартовых. Сначала интегрируем по внутренней переменной (чаще φ), затем по внешней (r).

Основная сложность при этом - правильный выбор пределов интегрирования исходя из границ области в полярных координатах.

Пример вычисления двойного интеграла в полярных координатах

Рассмотрим конкретный пример вычисления двойного интеграла в полярных координатах по области, представляющей собой круговой сектор (см. рисунок).

Перепишем исходный интеграл в полярных координатах:

Пределы интегрирования по r от 0 до 1 (радиус окружности), а по φ от 0 до π/4 (центральный угол сектора).

Вычисляя внутренний интеграл по φ, получаем:

Подставляем результат во внешний интеграл по r и находим ответ:

Вычисление площади плоской фигуры

Одно из важных применений двойных интегралов - вычисление площадей плоских фигур. Если область D лежит в плоскости xy, а f(x,y)=1, то двойной интеграл даст площадь этой области:

Например, найдем площадь фигуры, ограниченной параболой y=x² и прямой y=2x:

1. Строим область на чертеже
2. Записываем двойной интеграл
3. Выбираем пределы интегрирования и вычисляем

В итоге получаем, что площадь равна 2 единицам.

Вычисление объема тела вращения

Если взять тело, полученное вращением плоской фигуры вокруг оси, то его объем можно вычислить с помощью двойного интеграла.

Например, пусть есть кривая y=f(x) на интервале [a,b], вращающаяся вокруг оси Ox. Тогда объем полученного тела вращения равен:

Здесь 2πy dy - площадь элементарного цилиндра, полученного вращением dx вокруг оси Oy. Интегрируя такие цилиндры по всей плоской фигуре, получаем искомый объем тела.

Нахождение центра масс системы

С помощью двойных интегралов можно также находить центры масс различных объектов. Рассмотрим задачу.

Дана поверхностная плотность σ=x+y на прямоугольнике 0≤x≤1, 0≤y≤3. Требуется определить координаты центра масс.

Координаты центра масс xl и yl находят из выражений:

Подставляя σ=x+y, вычисляя интегралы и деля на общую массу, получим координаты центра масс (0.75, 1.5).

Другие приложения двойных интегралов

Кроме уже рассмотренных примеров, двойные интегралы используются для решения множества других прикладных задач:

• Нахождение статических и динамических моментов тел;
• Определение координат центра тяжести и моментов инерции;
• Расчет потенциальных полей (гравитационного, электростатического и др.);
• Нахождение работы силовых полей по заданным кривым;
• Вычисление механических характеристик неоднородных стержней и др.

Потенциальное поле и его характеристики

Рассмотрим применение двойных интегралов для анализа потенциальных полей, например гравитационного или электростатического. Пусть имеем плотность распределения масс или зарядов \rho(\vec r).

Потенциал поля в точке \vec r определяется двойным интегралом:

Другие физические характеристики (напряженность поля, поток поля через поверхность) также выражаются через двойные интегралы от \rho(\vec r).

Расчет элементов конструкций переменного сечения

Часто в технике встречаются конструкционные элементы, сечение которых меняется по длине (переменное сечение): криволинейные балки, оболочки, арки и др.

Для расчета таких конструкций на прочность используется дифференциальное уравнение изгиба балок переменного сечения, которое содержит двойной интеграл:

где EJ(x) - жесткость балки, q(x) - распределенная нагрузка, M(x), Q(x) - изгибающий момент и поперечная сила.

Численное решение дифференциальных уравнений

Двойные интегралы применяются в различных численных методах решения дифференциальных уравнений, например при реализации метода конечных элементов.

Суть метода заключается в замене уравнений в частных производных на систему алгебраических уравнений относительно значений искомой функции в узлах сетки. При выводе этой системы используются двойные интегралы.

Такой подход позволяет моделировать различные физические процессы (теплопроводность, диффузия, волновая динамика), которые описываются дифференциальными уравнениями в частных производных.

Другие применения двойных интегралов

Как видно из рассмотренных примеров, область применения двойных интегралов весьма широка.

Они используются для решения множества задач гидродинамики и аэродинамики, в теории упругости, для расчета напряженно-деформированного состояния в механике деформируемого твердого тела, в электродинамике, квантовой механике, экономико-математическом моделировании и др.