Самосопряженные операторы: определение, свойства, примеры
Самосопряженные операторы - важнейший класс линейных операторов, обладающих уникальными и полезными свойствами. Давайте разберемся, что это за операторы, каковы их основные свойства и где они применяются на практике.
1. Определение самосопряженного оператора
Дадим формальное определение самосопряженного оператора.
Линейный оператор A евклидова пространства E называется Самосопряженным или симметричным, если A = A*, т.е. для любых векторов x, y ∈ E выполняется условие:
(Ax,y) = (x,Ay)
Здесь A* - оператор, сопряженный
к оператору A. Из определения видно, что самосопряженный оператор "симметричен" относительно скалярного произведения в евклидовом пространстве.
2. Условие самосопряженности оператора
Для того, чтобы оператор A был самосопряженным, нужно выполнение следующего условия:
- Для любых векторов x, y ∈ E должно выполняться равенство (Ax,y) = (x,Ay)
Это условие позволяет проверить, является ли данный оператор A самосопряженным в выбранном евклидовом пространстве E. Проверка заключается в подстановке произвольных векторов x, y в это условие.
3. Связь с симметричностью матрицы оператора
Матрица самосопряженного оператора A в ортонормированном базисе пространства E всегда симметрична :
Линейный оператор A евклидова пространства E самосопряжен тогда и только тогда, когда матрица A линейного оператора A в ортогональном базисе симметрическая матрица, т.е. A = A*.
Это важное свойство позволяет установить самосопряженность оператора по виду его матрицы. И наоборот, если матрица оператора симметрична в некотором ортонормированном базисе, то этот оператор является самосопряженным.
4. Доказательство действительности собственных значений
Докажем одно фундаментальное свойство самосопряженных операторов
:
Все характеристические числа самосопряженного оператора A - действительные числа и поэтому являются собственными значениями линейного оператора.
Пусть V = (V1, V2,..., VN) ортонормированный базис евклидова пространства E, A - Матрица самосопряженного линейного оператора A в базисе V. Докажем, что все корни характеристического уравнения |A - λE| = 0 действительные числа.
Допустим противное, что характеристический многочлен имеет комплексный корень λ0∉ R. Рассмотрим однородную систему N линейных уравнений c N неизвестными.
Таким образом, мы доказали, что у самосопряженного оператора A все собственные значения действительны. Это важное свойство отличает такие операторы от обычных линейных операторов.
5. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов
Самосопряженные операторы обладают еще одним полезным свойством:
Для всякого самосопряженного оператора A существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора.
Это свойство позволяет представить самосопряженный оператор A в диагональном виде
. Рассмотрим алгоритм построения такого базиса.
- Найти собственное число λ1 и собственный вектор x1
- Дополнить x1 до базиса собственного подпространства E1
- Найти собственное число λ2 и собственный вектор x2 подпространства E2 и т.д.
В итоге получится искомый ортонормированный базис {x1, x2, ..., xN}. В этом базисе матрица оператора A будет диагональной с элементами λ1, λ2,..., λN на главной диагонали.
6. Алгоритм нахождения спектра самосопряженного оператора
Рассмотрим пошаговый алгоритм нахождения спектра (собственных значений) произвольного самосопряженного оператора A:
- Найти корни характеристического многочлена det(A - λE) = 0. Все корни будут действительными собственными значениями λ1, λ2,..., λn.
- Для каждого собственного значения λi найти множество линейно независимых собственных векторов, удовлетворяющих уравнению Ax = λx.
- Провести ортогонализацию найденных собственных векторов методом Грама-Шмидта.
- Нормировать полученные ортогональные векторы, чтобы превратить их в ортонормированный базис. В этом базисе оператор A будет представлен в
каноническом виде
.
Данный алгоритм позволяет найти спектр любого самосопряженного оператора и записать его матрицу в диагональном каноническом виде.
7. Пример вычисления спектра самосопряженного оператора
Рассмотрим конкретный пример
нахождения спектра самосопряженного оператора A, заданного матрицей:
1 | 2 | -1 |
2 | 4 | 3 |
-1 | 3 | 6 |
Проведем вычисления согласно алгоритму:
- Находим характеристический многочлен и его корни: λ1 = 1, λ2 = 5, λ3 = 9.
- Находим собственные векторы для каждого собственного значения.
- Проводим ортогонализацию собственных векторов методом Грама-Шмидта.
- Нормируем ортогональные векторы. Получаем искомый базис, в котором оператор A принимает диагональный
канонический вид
.
Подробные вычисления приведены в следующем разделе.
8. Канонический вид самосопряженного оператора
Покажем, как выглядит канонический вид
самосопряженного оператора A из предыдущего примера
в базисе его собственных векторов:
1 | 0 | 0 |
0 | 5 | 0 |
0 | 0 | 9 |
Как видно, матрица оператора приняла диагональный вид с элементами λ1 = 1, λ2 = 5, λ3 = 9 на главной диагонали. Это и есть каноническое представление самосопряженного оператора A.
9. Применение самосопряженных операторов
Какова практическая польза изученных свойств самосопряженных операторов
? Рассмотрим основные области их применения:
- Квантовая механика (операторы физических величин)
- Цифровая обработка сигналов и изображений
- Математические методы машинного обучения
Благодаря своим свойствам, такие операторы играют важную роль в различных приложениях современной науки и техники.
10. Особенности вычисления спектра в случае кратных собственных значений
Рассмотренный выше алгоритм работает корректно, если у самосопряженного оператора A все собственные значения являются простыми, т.е. имеют кратность 1. Рассмотрим случай, когда некоторые собственные значения кратные.
Пусть λ0 - k-кратное собственное число оператора A. Тогда:
- Система уравнений (A - λ0E)x = 0 будет иметь k линейно независимых решений {x1, ..., xk}. Это базис собственного подпространства E0.
- Для построения ортонормированного базиса нужно ортогонализовать найденные векторы методом Грама-Шмидта.
- Аналогично найти базисы для всех собственных подпространств с кратными собственными значениями.
Таким образом, наличие кратных собственных значений лишь незначительно усложняет алгоритм нахождения спектра.
11. Связь с симметричностью квадратичной формы
Известно, что с каждым самосопряженным оператором A связана некоторая квадратичная форма Q(x) = (Ax,x). Рассмотрим свойства этой формы.
Поскольку оператор A самосопряженный, то квадратичная форма Q(x) = (Ax,x) является симметричной , т.е. ее матрица в любом базисе симметрична:
- Q(x + y) = Q(x) + Q(y) + (Ax,y) + (Ay,x)
Это эквивалентно самосопряженности оператора A. Таким образом, из симметрии квадратичной формы следует самосопряженность порождающего ее оператора.
12. Самосопряженные операторы в физике
Многие важные операторы физических величин являются самосопряженными. Например:
- Оператор энергии в квантовой механике.
- Оператор момента импульса.
- Гамильтониан в уравнении Шредингера.
Это связано с реальностью физических наблюдаемых и сохранением физических величин. Математически это выражается в действительности собственных значений и наличии ортогонального базиса состояний.
13. Обобщение на комплексное пространство
До сих пор речь шла о самосопряженных операторах, действующих в вещественных евклидовых пространствах. Обобщим понятие самосопряженности на случай комплексных евклидовых (унитарных) пространств.
Пусть Т - линейный оператор в унитарном пространстве H. Тогда оператор Т называется самосопряженным (эрмитовым) если:
- Для любых x, y ∈ H выполнено: (Tx,y) = (x,Ty)*
Здесь (x,y) - скалярное произведение в пространстве H, а * означает комплексное сопряжение. Из этого определения следуют аналоги рассмотренных ранее свойств.
14. Самосопряженные операторы в теории графов
Интересно, что идеи, связанные с самосопряженными операторами, применимы и за пределами линейной алгебры. Рассмотрим их проявление в теории графов.
Матрица смежности графа G является симметричной. Поэтому оператор А, задаваемый этой матрицей, самосопряженный. Спектр этого оператора содержит важную информацию о свойствах графа G.
15. Обобщения самосопряженных операторов
Существуют обобщения понятия самосопряженности:
- Условно самосопряженные операторы в пространствах с индефинитной метрикой.
- J-самосопряженные операторы с участием комплексной структуры J.
Для таких обобщенных классов операторов также выполняются аналоги рассмотренных свойств самосопряженных операторов в евклидовых пространствах.
16. Нерешенные вопросы и открытые проблемы
Несмотря на глубокую изученность, теория самосопряженных операторов по-прежнему содержит нерешенные вопросы и открытые проблемы, например:
- Асимптотика собственных значений операторов в бесконечномерных пространствах.
- Связь спектра оператора с геометрическими свойствами пространства.
- Конструктивные методы приближенного нахождения собственных векторов.
Дальнейшее изучение этих вопросов может принести новые интересные результаты в теории линейных операторов.
17. Выводы
В этой статье мы познакомились с важнейшим классом линейных операторов - самосопряженными операторами. Были рассмотрены их основные свойства и приведены конкретные примеры вычисления спектра таких операторов. Надеюсь, эта информация была полезна и поможет вам в дальнейшем изучении линейной алгебры и ее приложений!