Несократимая дробь: правила сокращения и преобразования

Несократимые дроби - одна из важнейших тем школьного курса математики. К сожалению, многие ученики не уделяют ей должного внимания, считая скучной и неинтересной. Однако понимание основ работы с несократимыми дробями крайне полезно и позволяет избежать множества ошибок в дальнейшем.

Что такое несократимая дробь

Давайте начнем с определения этого понятия. Несократимая дробь - это дробь, у которой нет общих делителей числителя и знаменателя, кроме единицы. Другими словами, числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Например:

• Дробь ³⁄₇ несократима, так как 3 и 7 - простые числа.
• Дробь ¹⁶⁄₂₅ тоже несократима, у 16 и 25 нет общих множителей.

На практике несократимую дробь можно отличить от сократимой, найдя наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Если НОД равен 1 - дробь несократима. Например, для дроби ₄₉₅⁄₅₃₉ НОД=11, значит, она сократима.

Свойства несократимых дробей

Рассмотрим основные свойства обыкновенных несократимых дробей:

1. Несократимая дробь является наименьшим целым числом, которым можно выразить отношение числителя к знаменателю.
2. При перемножении, делении или возведении в степень несократимых дробей получается несократимая дробь. Например:²
   ⁄
   ₃
   *
   ⁵
   ⁄
   ₇
   = несократимая дробь
   ¹⁰
   ⁄
   ₂₁
   (
   ⁵
   ⁄
   ₉
   )
   ³
   = несократимая дробь
   ¹²⁵
   ⁄
   ₇₂₉
3. При сложении и вычитании несократимых дробей может получиться как несократимая, так и сократимая дробь. Например:³
   ⁄
   ₅
   +
   ⁷
   ⁄
   ₉
   = несократимая дробь
   ⁶²
   ⁄
   ₄₅⁵
   ⁄
   ₁₂
   -
   ¹
   ⁄
   ₄
   = сократимая дробь
   ²/₁₂

Таким образом, при вычислениях с несократимыми дробями результат также будет являться несократимой дробью. Это важное свойство, которое следует учитывать при решении математических задач.

Правила сокращения дробей

В математике принято записывать ответы в виде несократимых дробей. Поэтому важно уметь сокращать обыкновенные дроби до несократимого вида. Рассмотрим основные правила.

1. Найти НОД числителя и знаменателя (используя алгоритм Евклида). Например, для дроби ⁴²⁄₁₂₀:
   120 = 42·2 + 36 42 = 36·1 + 6 36 = 6·6
   Значит, НОД(42,120) = 6
2. Разделить числитель и знаменатель на НОД: ⁴²⁄₁₂₀ = ^42⁄6⁄_120⁄6 = несократимая дробь ⁷⁄₂₀
3. Аналогично сокращаются неправильные и смешанные дроби. Например:²⁸
   ⁄
   ₁₆
   = несократимая дробь
   ⁷
   ⁄
   ₄
   5
   ³
   ⁄
   ₄
   = 5 несократимая дробь
   ³
   ⁄
   ₄

Таким образом, последовательно применяя эти правила, можно сократить любую обыкновенную дробь до несократимого вида. А это значительно упрощает дальнейшие вычисления.

Задачи с несократимыми дробями

Рассмотрим применение свойств несократимых дробей при решении математических задач.

Текстовые задачи

Часто в текстовых задачах требуется выполнить вычисления с обыкновенными дробями, а ответ записать в виде несократимой дроби. Например:

У Маши было ⁵⁄₆ кг конфет. Она разделила их поровну между собой, братом и двумя сестрами. Сколько килограммов конфет получил каждый?

Решение:

1. Маша разделила ⁵⁄₆ кг конфет между 4 человеками.
2. Используем свойство деления несократимых дробей: (⁵⁄₆) : 4 = несократимая дробь ⁵⁄₂₄
3. Значит, каждый получил по несократимая дробь ⁵⁄₂₄ кг конфет.

Обратите внимание, как использование свойств несократимых дробей позволило записать ответ сразу в нужном виде, без дополнительных преобразований.

Задачи с процентами

Задачи на проценты также часто сводятся к вычислениям с обыкновенными дробями. Рассмотрим пример:

Когда товар продавался со скидкой 25%, его цена была 20 долларов. Сколько стоил товар изначально?

Решение:

1. Обозначим: x - изначальная цена товара в долларах.
2. После скидки 25% от x, цена стала 20 долларов:
3. 0.75x = 20
4. x = несократимая дробь ²⁰⁄_0.75 = 26 ²⁄₃ долларов

Запись ответа в виде несократимой дроби - обязательное требование при решение примеров с дробями.

Прикладные задачи с несократимыми дробями

Несократимые дроби широко используются при решении прикладных задач из физики, химии, экономики. Рассмотрим несколько примеров.

Задачи из физики

При решении физических задач часто приходится иметь дело с несократимыми дробями при записи формул или вычислениях. Рассмотрим пример:

Тело движется равноускоренно. Начальная скорость тела - 0 м/с, ускорение 2 м/с2. Определить через сколько времени оно будет иметь скорость 13 м/с2

Решение:

1. Запишем формулу равноускоренного движения: v = at, где
   v - скорость тела a - ускорение тела t - время движения
2. Выразим время: t = v/a
3. Подставим значения:
   v = 13 м/с2 a = 2 м/с2
4. Получаем: t = 13/ 2 = 6 и несократимая дробь ¹/₂ с

Как видим, использование свойств несократимых дробей позволяет получить ответ в нужном виде, не прибегая к дополнительным преобразованиям.

Задачи из химии

В химических задачах также часто встречаются вычисления с использованием несократимых дробей. Например, при нахождении массовой доли вещества в растворе или количества вещества, вступившего в реакцию.

Какая масса 18%-ного раствора соляной кислоты потребуется для получения 220 г 10%-ного раствора?

Решение:

1. Обозначим: x - масса 18%-ного раствора HCl
2. Составим пропорцию:
   m(10% р-ра) : m(18% р-ра) = ω(10% р-ра) : ω(16% р-ра) 220 г : x = несократимая дробь
   ¹⁰
   ⁄
   ₁₀₀
   : несократимая дробь
   ¹⁶
   ⁄
   ₁₀₀
3. Отсюда: x = 365 г

Всегда читайте внимательно условия, что бы не ошибиться с примерами.

Задачи из экономики

При решении экономических задач - на нахождение наценки или скидки на товар, расчета прибыли и так далее, также используются вычисления с несократимыми дробями.