Действия с корнями: формулы, основные свойства и применение
Корни являются одной из наиболее сложных тем школьного курса математики. Но если выучить основные формулы, понять их вывод и логику применения, а также потренироваться в решении задач, эта тема перестанет казаться страшной. В данной статье мы подробно разберем все необходимые формулы, свойства и правила действий с корнями. Овладев ими, вы сможете без труда преобразовывать сложные выражения, решать иррациональные уравнения и неравенства любой сложности.
1. Определение и обозначение корней
Корень n-ой степени из числа a обозначается как √na и определяется так: это такое число b, которое при возведении в степень n дает число а: bn = a.
Наиболее часто в школьном курсе встречаются корень квадратный, кубический и корни четвертой степени. Давайте разберем обозначения:
- Корень квадратный - √a или √2a
- Корень кубический - √3a
- Корень четвертой степени - √4a
Подкоренным выражением называется то, что находится под знаком корня. Например, в √327 подкоренным выражением является 27.
При извлечении действия с корнями формулы
четной и нечетной степени есть одно принципиальное отличие: под знаком корня четной степени должно находиться неотрицательное число, а под знаком корня нечетной степени - число любое.
Некоторые значения конкретных корней:
- √9 = 3
- √16 = 4
- √38 = 2
- √3-64 = -4
- √481 = 3
2. Основные формулы и правила действий с корнями
При выполнении действий с корнями используются следующие основные формулы:
Умножение корней:
- с одинаковыми показателями степени: √a ∙ √b = √(a ⋅ b)
- с разными показателями степени: √na ∙ √mb = √n+m(a ⋅ b)
Деление корней:
- с одинаковыми показателями степени: √a : √b = √(a/b)
- с разными показателями степени: √na : √mb = √n-m(a/b)
Также используются правила внесения множителя под знак корня и вынесения множителя из-под знака корня:
- a ∙ √b = √(a2 ⋅ b)
- √(a ⋅ b) = √a ∙ √b
Приведем несколько примеров применения этих формул на практике:
- √9 ∙ √25 = √(9 ⋅ 25) = √225 = 15
- √8 : √2 = √(8/2) = √4 = 2
- 2 ∙ √50 = √(22 ⋅ 50) = √100 = 10
- √18 ∙ √32 = √(18 ⋅ 32) = √576 = 24
- √(16 ⋅ 9) = √16 ∙ √9 = 4 ∙ 3 = 12
Действия с корнями формулы позволяют выполнять сложные преобразования и вычисления с корнями. Главное - четко знать основные формулы и правила, тогда любую задачу можно решить!
3. Преобразования выражений, содержащих корни
Помимо основных действий, при работе с корнями часто приходится выполнять различные преобразования выражений, содержащих корни. Рассмотрим наиболее важные из них.
Возведение корня в степень
Если корень возвести в степень, то произойдет возведение в эту же степень подкоренного выражения:
(√a)n = an/2
Например:
(√9)2 = 92/2 = 9
Извлечение корня из степени числа
Чтобы извлечь корень из степени числа, надо показатель степени разделить на показатель корня:
√an = (√a)n
Например:
√273 = (√27)3 = 3
4. Вынесение множителя из-под корня
Иногда требуется упростить выражение с корнем, вынеся некоторый множитель из-под знака корня. Это можно сделать, разложив подкоренное выражение на множители:
√a ∙ b = √a ∙ √b
Например:
√36 = √9 ∙ 4 = 6 ∙ √4 = 6 ∙ 2 = 12
5. Формулы действия со степенями корнями для освобождения от иррациональности
Зачастую нужно освободить дробь от иррациональности (корня) в знаменателе или числителе. Для этого используются специальные формулы:
∙ со
√a / √a = a / a = 1
∙ (√a ± √b) / (√a ∓ √b) = (a ± 2√ab + b) / (a - b)
Рассмотрим примеры:
1. √5 / √5 = 5 / 5 = 1
2. (√7 + √24) / (√7 - √24) = (7 + 2√7∙24 + 24) / (7 - 24) = 31 / -17
6. Действия с корнями, содержащими отрицательное подкоренное выражение
Если под знаком корня находится отрицательное число, то при извлечении корня четной степени результат будет мнимым (комплексным) числом. А при нечетном показателе степени результат будет отрицательным числом:
√2n(-a) = i√a, где i - мнимая единица
√2n+1(-a) = -√a
7. Решение иррациональных уравнений, содержащих корни
Иррациональными называются уравнения, которые содержат переменную под знаком корня. Для решения таких уравнений используется метод возведения обеих частей уравнения в степень, равную показателю корня.
Рассмотрим пример:
√x + 3 = 5
Возводим обе части уравнения в квадрат:
x + 3 = 25
x = 22
Ответ: x = 22
Решение более сложных иррациональных уравнений
Иногда встречаются более сложные иррациональные уравнения, например:
√(2x + 5) = 3x - 4
В этом случае сначала нужно освободить переменную x из-под знака корня, а затем возвести в квадрат:
2x + 5 = (3x - 4)2
2x + 5 = 9x2 - 24x + 16
Далее решаем получившееся квадратное уравнение.
8. Решение неравенств, содержащих корни
При решении неравенств, содержащих корни, также применяется метод возведения в степень. Но здесь нужно быть осторожнее с возникающими при этом дополнительными решениями.
Рассмотрим пример:
√(2x - 3) < 5
Возводим в квадрат:
(2x - 3) < 25
2x - 3 < 25
2x < 28
x < 14
Получили решение x < 14. Но из-за возведения в квадрат появляется еще один корень уравнения 2x - 3 = 25. Решая его, находим дополнительное решение x = -1, которое тоже подходит под исходное неравенство.
Ответ: x < 14 или x = -1.
Метод интервалов
Для решения более сложных неравенств используется метод интервалов, когда числовую ось делят на отрезки, в пределах которых знаки неравенства не меняются.
9. Подобные корни и действия с ними
Корни называются подобными, если у них равны показатели степени и подкоренные выражения. Например:
√5 и √5 - подобные корни
√3x и √3y - подобные корни
√2 и √3 - не подобные корни
С подобными корнями можно выполнять такие действия, как сложение и вычитание (это называется приведением подобных корней):
√a ± √a = 2√a
√x ± √x = 2√x
Это свойство позволяет значительно упростить некоторые выражения, содержащие подобные корни. Например:
√7 + √7 = 2√7
2√2x - √2x = √2x
10. Применение свойств корней для решения задач
Рассмотрим несколько примеров того, как знание свойств и формул действий с корнями позволяет решать различные математические задачи.
- Упростить выражение: √12 + 3√3 - 2√12
- Решить уравнение: √(x+5) - √(x-7) = 6
- Решить неравенство: √x + 5 > √(x - 3)
Подобные задачи можно решать, применяя рассмотренные ранее свойства и формулы для корней. Главное - правильно выбрать, какое свойство или формулу следует использовать в каждом конкретном случае.
Выводы
В статье разобраны различные формулы и свойства действий с корнями. Рассмотрены темы определения и обозначения корней, формул для умножения и деления корней, преобразований выражений с корнями, решения уравнений и неравенств с корнями. Приведено множество примеров применения действия с корнями формулы для решения математических задач. Информация будет полезной для школьников и абитуриентов для подготовки к экзаменам.