Признаки параллельности двух прямых: теория и практика
Параллельные прямые встречаются повсюду: рельсы и линии электропередач, небоскребы и опоры мостов. Но что делает эти объекты параллельными и зачем это нужно? Ответы содержат три простых признака параллельности. Овладев ими, вы сможете решать множество практических задач и лучше понимать окружающий мир.
Основные определения и понятия
Для начала давайте разберемся в базовых терминах, связанных с признаками параллельности двух прямых.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они расположены в одной плоскости и не пересекаются, как бы далеко их ни продолжали.
То есть параллельные прямые как бы идут рядом друг с другом, сохраняя одинаковое расстояние между собой.
Часто для определения параллельности используют третью линию, которая пересекает рассматриваемые прямые. Такая линия называется секущей.
Виды углов
При пересечении двух прямых секущей образуются разные углы. В зависимости от расположения они делятся на:
- Накрест лежащие
- Односторонние
- Соответственные
| Накрест лежащие углы | Углы, вершины которых лежат по разные стороны от секущей |
| Односторонние углы | Углы, вершины которых лежат по одну сторону от секущей |
| Соответственные углы | Углы, образованные параллельными прямыми и секущей |
Знание свойств этих углов позволяет сформулировать три основных признака параллельности двух прямых. Рассмотрим их по порядку.
Первый признак параллельности
Признаки параллельности двух прямых основаны на углах, которые образуются при пересечении этих прямых третьей - секущей. Первый признак гласит:
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
На рисунке ниже видно, что ∠1 = ∠2. Это накрест лежащие углы (их вершины лежат по разные стороны от секущей). Согласно первому признаку, прямые а и b параллельны.
Формальное доказательство этого утверждения основано на теореме о внешнем угле треугольника и проводится от противного.
Предположим, прямые а и b пересекаются в некой точке М. Тогда по теореме внешний угол ∠1 должен быть больше внутреннего накрест лежащего угла ∠2. Но по условию эти углы равны. Значит, точки пересечения М не существует и прямые а, b параллельны.
Первый признак часто используется на практике. Например, при верстке текста, чтобы сделать колонки одинаковой ширины. Или в строительстве, чтобы балки и опоры были строго параллельны...
В следующей части мы разберем еще два не менее важных признака параллельности для прямых.
Второй и третий признаки параллельности
Кроме равенства накрест лежащих углов, существуют еще два признака, позволяющие определить параллельность двух прямых:
- По равенству соответственных углов
- По сумме односторонних углов
Второй признак параллельности
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
На рисунке ниже ∠1 = ∠5, то есть соответственные углы равны. В соответствии со вторым признаком, прямые а и b параллельны:
Доказательство опирается на свойства вертикальных углов и теорему о равенстве накрест лежащих углов при параллельных прямых.
Третий признак параллельности
Если сумма односторонних углов, образованных при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
На рисунке ∠2 + ∠3 = 180°. Это односторонние углы (их вершины лежат по одну сторону от секущей). Значит, прямые а и b параллельны согласно третьему признаку:
Доказательство использует свойства смежных углов и теорему о параллельности при равенстве накрест лежащих углов.
Рассмотренные признаки параллельности активно применяются на практике при решении геометрических задач, в черчении, строительстве, машиностроении.
Задача на параллельность отрезков
Здесь из условия задачи следует, что ∠AOD = ∠COE. Это соответственные углы. Значит, прямые, на которых лежат отрезки AB и CD, параллельны по второму признаку.
Кроме основных признаков, есть и другие интересные факты о параллельных прямых.
Аксиома Евклида
Одним из фундаментальных утверждений о параллельных прямых является аксиома Евклида. Она гласит:
Через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной этой прямой.
Это означает, что параллельных прямых к заданной через внешнюю точку может быть либо одна, либо вообще ни одной. Больше одной быть не может.
Перпендикулярность как частный случай
Перпендикулярность прямых можно рассматривать как частный случай параллельности. Ведь перпендикулярные прямые также не пересекаются. Поэтому если одна прямая перпендикулярна двум другим в той же плоскости, то последние обязательно параллельны.
Параллельность в архитектуре и строительстве
Признаки и свойства параллельных прямых активно используются в архитектуре и строительстве:
- Параллельные опоры мостов и эстакад для прочности
- Параллельные стены и перекрытия зданий
- Параллельность рельсов и линий электропередач
Для проверки параллельности конструкций на практике используют различные геодезические приборы и лазерные уровни. Они позволяют точно замерять углы между линиями и устанавливать их параллельность.
Параллельность в дизайне
В дизайне и оформлении интерьеров параллельность линий используется для создания ощущения симметрии, стройности и гармонии пространства. Это один из базовых приемов визуальной эстетики.
- Параллельные линии мебели и архитектурных элементов
- Параллельные полосы в одежде и тканях
- Горизонтальные и вертикальные линии в композиции
В искусстве и архитектуре параллельность часто стремятся совместить с золотым сечением - идеальным математическим пропорциям. Это сочетание создает особую гармонию и красоту.