Как разложить на множители квадратные трехчлены: пошаговая инструкция

Квадратные трехчлены - одна из важнейших тем школьного курса алгебры. Но многие ученики сталкиваются с трудностями при их решении. Эта статья поможет разобраться с разложением квадратных трехчленов на множители и научит решать такие задачи как опытный математик!

Что такое квадратный трехчлен и зачем его разлагать на множители

Для начала давайте разберемся, что из себя представляет квадратный трехчлен.

Квадратный трехчлен — это многочлен вида ax2 + bx + c, где x — переменная, а a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0.

Квадратный трехчлен состоит из трех слагаемых (одночленов), наибольшая степень у него равна двум - отсюда и название "квадратный". Давайте рассмотрим несколько примеров квадратных и не квадратных трехчленов:

• Квадратные трехчлены: x2 + 2x + 1 3x2 - x + 7
• Не квадратные трехчлены: x3 + 3x2 + x (степень выше двух) 3x + 5 (нет квадратного члена)

Так зачем же нужно уметь разлагать квадратный трехчлен на множители? Это важный навык по нескольким причинам:

1. Помогает решать многие задачи, в которых встречаются квадратные трехчлены.
2. Является фундаментом для изучения более сложных разделов алгебры в старших классах.
3. Развивает логическое мышление и умение оперировать алгебраическими выражениями.

Чтобы разложить квадратный трехчлен на множители, нужно сначала найти его корни.

Пошаговая инструкция разложения квадратного трехчлена на множители

Итак, приступим к пошаговому алгоритму разложения:

1. Шаг 1. Приравняйте квадратный трехчлен к нулю.

   Copy code

   Для начала нам нужно составить и приравнять к нулю квадратное уравнение. Например:

   x2 - 6x + 8 = 0

2. Шаг 2. Найдите корни получившегося квадратного уравнения.

   Copy code

   Это ключевой момент, позволяющий разложить трехчлен на множители. Существует несколько способов нахождения корней в зависимости от вида коэффициентов:

   Общий случай через вычисление дискриминанта Специальные случаи: Четный средний коэффициент Выполнено условие a + b + c = 0 Выполнено условие a - b + c = 0 Использование теоремы Виета

   Подробнее о каждом способе мы поговорим в следующих разделах.

3. Шаг 3. Подставьте найденные корни в формулу разложения на множители:

   Copy code

   ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)

   Где x₁ и x₂ - корни данного квадратного трехчлена.

4. Шаг 4. Раскройте скобки и упростите выражение.

   Copy code

   На этом этапе мы просто выполняем все алгебраические преобразования и упрощения, чтобы получить ответ в окончательном виде. Например:

Давайте теперь подробно разберем основные способы нахождения корней квадратного уравнения, соответствующего заданному трехчлену.

разложите на множители квадратный трехчлен х2 - общий случай через дискриминант

При общем виде квадратного уравнения мы используем дискриминант. Рассмотрим алгоритм на примере:

Исходный трехчлен: 6x2 - 7x - 15

1. Приравняем его к нулю: 6x2 - 7x - 15 = 0
2. Найдем дискриминант: D = b2 - 4ac D = (-7)2 - 4·6·(-15) = 1
3. По формуле вычислим корни:
4. Подставим корни в формулу разложения: 6x2 - 7x - 15 = 6(x - 2/3)(x - 1/2)
5. Выполним окончательные преобразования: 6x2 - 7x - 15 = (2 - 3x)(2x - 1)

Аналогичным образом можно разложить любой квадратный трехчлен с произвольными коэффициентами.

Специальные случаи нахождения корней

Рассмотрим теперь некоторые специальные случаи, когда вычисление корней упрощается.

Случай 1: Четный средний коэффициент

Если средний коэффициент b в квадратном уравнении является четным числом, то можно воспользоваться специальными формулами. Рассмотрим на примере:

Исходный трехчлен: 3x2 + 2x - 8

1. Приравняем его к нулю: 3x2 + 2x - 8 = 0
2. Видим, что b = 2, то есть четное число. Используем формулы:
3. Подставляем корни в формулу разложения: 3x2 + 2x - 8 = (x + 2)(3x - 4)

Случай 2: Выполнено условие a + b + c = 0

Если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, один из корней всегда будет равен 1. Например, для трехчлена:

5x2 - 3x - 2 выполнено: a + b + c = 5 - 3 - 2 = 0

Тогда один корень x₁ = 1, а второй корень x₂ = c/a.

разложить множители квадратные трехчлены

По аналогии, если выполнено условие a - b + c = 0, то один из корней равен -1. Это можно использовать для упрощения ряда задач.

Применение теоремы Виета

Еще один полезный прием - использование квадратный трехчлен разложен множители теоремы Виета. Она позволяет находить корни, не вычисляя дискриминант.

Рассмотрим применение теоремы Виета в действии. Дан трехчлен:

x2 - 13x + 12 = 0

1. Проверим, что дискриминант является полным квадратом числа: D = 112
2. Применяем разложить теорему Виета:
   Сумма корней равна 13 Произведение корней равно 12
3. Находим корни: x₁ = 1, x₂ = 12
4. Подставляем в формулу разложения и получаем ответ:

x2 - 13x + 12 = (x - 1)(x - 12)

Как видите, теорема Виета в ряде случаев позволяет существенно разложен упростить решение!