Свойства окружности, вписанной в угол: особенности и примеры

Окружность, вписанная в угол, хранит немало загадок. Давайте попробуем разгадать ее секреты и узнать удивительные свойства этой удивительной фигуры!

Основные определения и понятия

Прежде чем приступить к изучению свойств окружности, вписанной в угол, давайте определим основные используемые понятия.

• Окружность — замкнутая кривая, все точки которой равноудалены от заданной точки, называемой центром.
• Радиус окружности — отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности.
• Диаметр окружности — отрезок, проходящий через центр окружности и соединяющий две точки на окружности.
• Угол — фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки. Эта точка называется вершиной угла.
• Биссектриса угла — луч, делящий угол пополам.

Окружность, вписанная в угол, — это окружность, касающаяся обеих сторон данного угла. Иными словами, центр этой окружности лежит внутри угла, а сама окружность касается его сторон.

Окружность называется вписанной в угол, если она касается сторон угла.

Давайте теперь докажем важную теорему об этой загадочной фигуре.

Доказательство теоремы о центре вписанной окружности

Рассмотрим произвольный угол ABC и окружность, вписанную в него. Докажем, что центр этой окружности лежит на биссектрисе данного угла.

1. Проведем из центра O вписанной окружности касательные OA и OC к сторонам угла (рис. 1).
2. Заметим, что по определению касательной, проведенные треугольники ABO и CDO являются прямоугольными с общим катетом ОВ = ОС.
3. Но треугольники с равными катетами и общей гипотенузой равны.
4. Следовательно, ∠АОБ = ∠COB. Получено, что отрезок OB является биссектрисой исходного ∠ABC.

Итак, мы доказали, что центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Это важное свойство вписанной окружности позволяет решать многие задачи.

Следствия теоремы и их применение

Из доказанной теоремы вытекает несколько важных следствий.

Случаи острого, прямого и тупого углов

Рассмотрим отдельно три возможных случая:

• Если дан острый угол, то его биссектриса целиком лежит внутри этого угла.
• Если дан прямой угол, то биссектриса совпадает с одной из его сторон.
• Если дан тупой угол, то часть его биссектрисы выходит за пределы угла.

Однако во всех трех случаях центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Вычисление радиуса вписанной окружности

Зная свойства вписанной окружности, можно найти ее радиус через элементы самого угла. А именно, радиус равен расстоянию от вершины угла до точки пересечения его биссектрисы с любой из сторон.

Этот результат используется при решении многих задач на вычисление радиуса вписанной в угол окружности.

Применение теоремы на практике

Рассмотрим несколько примеров, демонстрирующих применение доказанной теоремы на практике.

Задача 1. В угол 60° вписана окружность радиусом 5 см. Найти расстояние от вершины угла до точки касания окружности с одной из сторон угла.

Решение. По теореме центр окружности лежит на биссектрисе данного угла. Значит, это расстояние равно радиусу окружности: 5 см.

Задача 2. В тупоугольный треугольник со сторонами 10, 13 и 15 см вписана окружность. Найти ее радиус.

Решение. Обозначим стороны треугольника через a, b, c. Тогда радиус вписанной окружности r вычисляется по формуле:

где p - полупериметр треугольника. Подставляя значения сторон, получаем: r = 6 см.

Окружность, вписанная в многоугольник

Давайте теперь рассмотрим более общий случай — когда окружность вписана не в отдельно взятый угол, а в многоугольник в целом.

Условия вписанности в треугольник

Начнем с простейшего случая — треугольника. Как мы помним, центр окружности, вписанной в треугольник, лежит в точке пересечения его биссектрис.

Это значит, что расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника является ее радиусом. Так выполняется необходимое и достаточное условие вписанности.

Четырехугольник и теорема о сумме сторон

Рассмотрим теперь, при каком условии окружность можно вписать в произвольный четырехугольник АВСД.

• Для этого сумма его противоположных сторон должна быть равна: AB + CD = BC + AD.

Это утверждение носит название теоремы о сумме противоположных сторон четырехугольника. Оно позволяет решать многие задачи на вписанные окружности.

Примеры задач на вписанную окружность

Рассмотрим несколько примеров применения полученных результатов.

Задача. В четырехугольник ABCD с известными сторонами вписана окружность. Найти ее радиус.

Решение. По теореме о сумме сторон записываем равенство: AB + CD = AD + BC. Решаем его относительно неизвестного радиуса.

Задача. Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются под прямым углом и равны 10 и 24 см. Найти периметр четырехугольника, если в него можно вписать окружность радиусом 6 см.

Решение. Стороны четырехугольника являются катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника. Отсюда находим эти стороны и затем вычисляем периметр.