Отношение двух чисел: объяснение и примеры для школьников

Что такое отношение двух чисел? Давайте разберем это понятие на простых примерах. Поймите, как вычислять отношение и где оно применяется. Научитесь решать задачи с использованием отношений.

Определение отношения двух чисел

Отношением двух чисел называют их частное. Например, отношение числа 75 к числу 25 можно записать так:

75:25 или 75/25

Здесь 75 - предыдущий член отношения, 25 - последующий член. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.

Свойства отношения:

• Если числа умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, то отношение не изменится.
• Отношение однородных величин (длин, масс, стоимостей и др.), выраженных в одних единицах, есть число.

Например, отношение массы переплета книги 50 г к массе книги 1000 г равно 0,05 или 5%.

То есть масса переплета составляет 5% от массы книги.

Что показывает отношение

Давайте разберем еще один числовой пример:

Длина доски равна 5 м.
Отрезали кусок длиной 2 м. Найти отношение длины отрезанного куска к длине всей доски.

Решение: Отношение = Длина куска / Длина доски = 2 м / 5 м = ²/₅ = 0,4 или 40%

Полученное отношение 0,4 показывает, что отрезанный кусок составляет 40% от длины всей доски.

Процентное отношение двух чисел

Часто приходится сравнивать числа в процентах. Процентным отношением двух чисел называют отношение первого числа ко второму, выраженное в процентах.

Правило. Чтобы найти процентное отношение, нужно одно число разделить на другое и умножить на 100%.

Например, вычислим, какую долю составляет число 52 от числа 400:

52 / 400 × 100% = 13%

То есть число 52 составляет 13% от числа 400.

Где применяется процентное отношение

Процентные отношения часто встречаются в задачах, когда нужно определить:

• на сколько процентов число больше или меньше другого числа;
• какую долю (процент) одно число составляет от другого.

Например, выполнение плана на 125%, снижение цены на 20%, доля импортных товаров на прилавке магазина и т.д.

Задачи на процентное отношение

Рассмотрим задачу:

Завод должен был произвести за месяц 1200 деталей. Фактически завод изготовил 2300 деталей. На сколько процентов завод перевыполнил план?

Решение: 1) План завода (1200 деталей) принимаем за 100%. 2) Находим процентное отношение фактического выпуска (2300) к плану (1200) по правилу:

2300 / 1200 × 100% = 191,7%

3) На сколько процентов перевыполнен план: 191,7% - 100% = 91,7%

Ответ: план перевыполнен на 91,7%.

Нахождение числа по его процентам

Рассмотрим еще один тип задач, связанных с процентами - это нахождение числа по известным его процентам. Например:

В 700 кг сои содержится 20% масла. Сколько масла в этом количестве сои?

Для решения таких задач удобно использовать способ приведения к единице. Поясним на данном примере:

1. 700 кг сои принимаем за условную единицу, т.е. за 100%.
2. 20% от этого количества будет составлять масло.
3. Строим пропорцию: 100% : 20% = 700 кг : х кг
4. Решаем пропорцию: х = 700 * 0,2 = 140 кг

Получаем, что в 700 кг сои содержится 140 кг масла.

Другой подход к решению

Можно найти число по процентам и по-другому - через дробное число, эквивалентное процентам. Например, 20% = 0,2.

Тогда задачу можно решить так:

1. 20% = 0,2
2. Искомое число (масло) составляет 0,2 от 700 кг сои
3. Находим: 700 * 0,2 = 140 кг

Еще одна задача на проценты

Из хлопка-сырца получают 24% волокна по массе. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480 кг волокна?

Решение 1. Принимаем 480 кг волокна за 24%. Тогда 100% будет хлопок-сырец.

Строим пропорцию: 24% : 100% = 480 кг : x кг. Получаем x = 2000 кг.

Решение 2. 24% = 0,24 (дробь). Делим массу волокна на эту дробь: 480 кг : 0,24 = 2000 кг.

Ответ: нужно взять 2000 кг хлопка-сырца.

Рассмотрим примеры задач на применение отношений чисел из школьного курса математики.

Задача 1

Длина прямоугольного садового участка равна 100 м, а его площадь 1000 м2. Найдите отношение длины участка к его ширине.

Решение. Из условия находим:

• Длина участка = 100 м
• Площадь S = 100 * x (где x - ширина)
• Подставляя значение S = 1000 м2, получаем: 100 * x = 1000
• Отсюда x = 1000 / 100 = 10 м

Искомое отношение длины к ширине равно: 100 / 10 = 10.

Ответ: 10.

Задача 2

В классе 30% мальчиков. Сколько мальчиков в классе, если всего в нем 25 учеников?

Решение. По условию задачи:

• Всего учеников - 25 человек (принимаем за 100%)
• 30% от этого числа составляют мальчики

Строим пропорцию: 100% : 30% = 25 чел : x чел

Решаем: x = 25 * 0,3 = 7,5 = 8 человек

Ответ: в классе 8 мальчиков.

Задача 3

В сплаве содержится 20% меди и 40% алюминия. Остальная часть - никель. Определите процентное содержание никеля в сплаве.

Решение. Поскольку в сплаве указаны процентные содержания всех компонентов, то их сумма должна быть равна 100%. Запишем это условие:

• Медь - 20%
• Алюминий - 40%
• Никель - х% (неизвестно)

Составим уравнение:

20% + 40% + х% = 100%

Решая его, находим: х = 100% - 20% - 40% = 40%

Ответ: в сплаве содержится 40% никеля.

Задача 4

Велосипедист проехал 60 км, что составляет 30% всей запланированной дистанции. Какова протяженность всего маршрута велосипедиста?

Решение. По условию:

• Пройденный путь - 60 км (это 30% от всей дистанции)
• Обозначим всю дистанцию за x км

Строим и решаем пропорцию:

30% : 100% = 60 км : x км

x = 60 * 100 / 30 = 200 (км)

Ответ: 200 км.