Удивительные свойства углов при параллельных прямых
Знаете ли вы, что углы при пересечении параллельных прямых обладают поистине удивительными, таинственными свойствами? Эти свойства помогают решать многие задачи геометрии, а знание признаков параллельности через углы открывает путь к новым открытиям.
Виды углов при параллельных прямых
Давайте разберемся, какие бывают углы при параллельных прямых. Угол при параллельных прямых - это угол, образованный при пересечении двух параллельных прямых третьей линией-секущей. Различают несколько типов таких углов.
- Накрест лежащие углы - расположены по разные стороны от секущей и равны друг другу
- Односторонние углы - лежат по одну сторону от секущей и дополняют друг друга до 180°
- Соответственные углы - один внутренний, другой находится с внешней стороны секущей напротив него; такие углы всегда равны
Найти нужный тип угла на чертеже не так уж сложно. Достаточно определить расположение вершин углов относительно секущей. Если вершины с одной стороны - это односторонние; если с разных сторон - накрест лежащие. А для нахождения соответственных углов нужно мысленно провести перпендикуляр к секущей.
Теоремы и доказательства
Теперь давайте найти углы параллельных прямых и исследуем их свойства. Рассмотрим теорему:
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Попробуем доказать этот факт. Пусть даны две пересекающиеся прямые a и b. Обозначим соответственные углы как ∠1 и ∠2. Поскольку они равны по условию, а вертикальные углы (∠2 и ∠3 на схеме) также равны между собой, получаем:
∠1 = ∠2 (соответственные углы)
∠2 = ∠3 (вертикальные углы) Следовательно, ∠1 = ∠3. Но ∠1 и ∠3 являются углами, образованными параллельными прямыми накрест лежащими. Значит, по признаку параллельности прямые a и b параллельны.
Аналогично можно доказать равенство накрест лежащих углов и то, что сумма односторонних углов равна 180∘. Эти факты очень полезны при решении задач!
Практическое применение свойств углов
Рассмотрим несколько примеров, как можно использовать свойства углов при решении геометрических задач.
Задача 1
Даны две пересекающиеся прямые и углы при них: ∠1 = 60°, ∠2 = 120°. Докажите, что прямые параллельны.
Решение. ∠2 и ∠3 - смежные углы, значит по свойству смежных ∠3 = 180° - 120° = 60°. Получаем, что ∠3 = ∠1. Это углы углы при параллельных прямых, накрест лежащие. Следовательно, данные прямые параллельны.
Задача 2
В равнобедренном треугольнике ABC проведена биссектриса ∠BCK. Докажите, что прямые AB и CD параллельны.
Решение. Используем свойства равнобедренного треугольника: ∠A = ∠C = 60°. Тогда ∠BCK = 180° - 60° = 120°. Но биссектриса делит угол пополам, значит ∠BCD = ∠CDK = 60°. Получаем, что ∠A и ∠DCK - углы соответственные при параллельных прямых. Следовательно, AB || CD.
Переход свойств углов
Иногда нужный тип угла сложно увидеть на чертеже сразу. Но зато можно найти другую фигуру, у которой нужные нам углы точно есть. А потом уже перенести свойства этих углов на исходную фигуру.
Пример
Дан параллелограмм ABCD. Докажем, что его диагональ AC делит параллелограмм на два равных треугольника. Изобразим диагональ BD. Увидели ромб ABCD, где диагонали взаимно перпендикулярны и делят ромб на четыре равных треугольника. Значит, ∠A = ∠C, как углы при пересечении параллельных AC и BD. Переносим это свойство на параллелограмм, получаем, что ∠A = ∠C и в параллелограмме. Следовательно, треугольники ABC и ADC равны.
Признаки параллельности
Вспомним еще раз три основных признака, по которым можно установить, что две прямые параллельны:
- При пересечении секущей с прямыми углы накрест лежащие равны
- Соответственные углы равны
- Сумма внутренних односторонних углов равна 180°
Эти критерии часто применяются в задачах ЕГЭ и ОГЭ для доказательства параллельности прямых. Рассмотрим примеры.