Не можете найти первообразную функции? Пошаговое руководство как находить первообразную функции

Вы когда-нибудь сталкивались с задачей найти первообразную заданной функции, но не знали с чего начать? Или пытались вспомнить правила, но они никак не приходили в голову? Не отчаивайтесь! В этой статье я поделюсь своим многолетним опытом и дам пошаговое руководство, как грамотно искать первообразную любой функции.

Что такое первообразная функции и зачем она нужна

Давайте начнем с азов. Первообразная функция - это такая функция, производная которой равна исходной функции. Обозначается интегралом:

F' (x) = f (x).

Где f(x) - исходная функция, F(x) - ее первообразная. То есть если мы возьмем производную от F(x), получится f(x).

Нахождение первообразной называют интегрированием. Это очень полезная операция, которая помогает решать многие практические задачи:

• Вычислять площадь криволинейной фигуры под графиком функции
• Находить работу переменной силы на заданном пути
• Определять объем тел вращения
• И др.

Также умение интегрировать нужно при решении дифференциальных уравнений, вычислении квадратур и многого другого.

Короче говоря, без интеграла сегодня не обойтись ни инженеру, ни экономисту, ни даже школьнику. Поэтому давайте разберем пошагово, как найти первообразную функции.

Как искать первообразную функции по таблице

Самый простой способ отыскать первообразную - это воспользоваться таблицей стандартных интегралов. В ней для многих функций уже указан вид первообразной функции.

Например, пусть дана функция f(x) = 3x2. Мы ищем в таблице строку с функцией x2 и видим, что ее первообразная равна x3/3 + C. Значит, первообразная от нашей функции будет 3x3/3 + C.

Где С - некоторая произвольная константа. Она может принимать любые числовые значения. Благодаря этой константе первообразная не единственна - их бесконечно много с разными значениями С.

Первообразная функция единственна с точностью до слагаемого, являющегося произвольной константой.

Итак, табличный метод подходит, если в таблице есть нужная нам функция. А если нет? Тогда придется использовать правила отыскания первообразной.

Но прежде запомните несколько советов по работе с таблицей интегралов:

1. Ищите не саму функцию, а ее производную. Первообразная функции = сама функция в таблице.
2. Сверяйте степени, коэффициенты. Иногда отличия бывают незаметными.
3. При необходимости преобразуйте функцию к виду из таблицы.

Следуя этим советам, вы быстро научитесь находить первообразные по табличному справочнику. А теперь перейдем к следующему методу.

Правила отыскания первообразной функции

Когда в таблице интегралов нет нужной нам функции, приходится прибегать к правилам отыскания первообразной. Существует 3 основных правила:

1. Первообразная суммы функций равна сумме первообразных
2. Первообразная произведения функции на число равна этому числу, умноженному на первообразную функции
3. Первообразная произведения функций равна интегралу от первой функции, умноженному на вторую функцию

Давайте подробно разберем каждое из этих правил.

Правило 1: первообразная суммы функций

Это самое простое и интуитивно понятное правило. Оно гласит: первообразная от суммы функций равна сумме первообразных этих функций.

Математически это можно записать так:

Где F(x) и G(x) - первообразные функций f(x) и g(x) соответственно. Из этой формулы видно, что для нахождения первообразной от суммы функций достаточно:

1. Найти первообразную каждой функции в отдельности
2. Сложить эти первообразные

Рассмотрим пример. Пусть дана функция:

Сначала находим первообразную от 2x: ∫2x dx = x²

Потом находим первообразную от sinx: ∫sinx dx = -cosx

В соответствии с правилом 1, первообразная от суммы этих функций будет равна сумме первообразных:

∫(2x + sinx) dx = ∫2x dx + ∫sinx dx = x² - cosx

Правило 2: первообразная произведения функции на число

Следующее правило касается первообразной от произведения функции на число. Оно гласит:

Первообразная от произведения функции f(x) на число k равна этому числу k, умноженному на первообразную функции f(x)

Математически:

Например, пусть f(x) = x² и k = 5. Тогда:

∫5x²dx = 5∫x²dx = 5·x³/3

Это правило часто используется, когда функция умножена на константу. Давайте рассмотрим такой случай подробнее.

Правило 3: первообразная произведения функций

Наиболее сложным для понимания является третье правило - правило интегрирования произведения функций. Оно гласит:

Первообразная от произведения двух функций равна интегралу от первой функции, умноженному на вторую функцию

Математически это выглядит так:

Хотя формула выглядит страшновато, на практике просто пользоваться. Рассмотрим на примере:

Пусть дана функция f(x)*g(x), где f(x) = x, а g(x) = 2x+1. Тогда:

1. Находим первообразную функции f(x) = x. Это F(x) = x²/2.
2. Умножаем найденный интеграл F(x) на функцию g(x) = 2x+1.
3. Получаем первообразную исходной функции:

   ∫x·(2x+1)dx = (x²/2)·(2x+1)

Как видите, ничего сложного. Запомнив эти 3 шага, вы без труда сможете применять правило интегрирования произведения функций на практике.

Как быстро искать первообразную функции

Теперь, когда мы разобрали основные способы нахождения первообразной функции, давайте подытожим, как делать это максимально быстро.

Когда вам нужно найти первообразную функции f(x), выполняйте следующие шаги:

1. Посмотрите в таблицу стандартных интегралов. Если функция f(x) там есть - отлично, берите готовую первообразную.
2. Если в таблице нет f(x), применяйте правила отыскания первообразной:
   Разложите f(x) на суммы, если возможно, и интегрируйте каждое слагаемое Вынесите числовые коэффициенты за знак интеграла Если есть произведение функций, используйте правило интегрирования произведения

Следуя этим шагам и со временем запоминая распространенные интегралы, вы приобретете навык быстро находить первообразную любой функции.