Как находить радиус вписанной в треугольник окружности: быстрый расчет по формуле

Знание точного значения радиуса вписанной окружности в треугольнике помогает решать множество задач в самых разных областях - от геометрии до архитектуры и дизайна. В этой статье мы подробно разберем, как вывести универсальную формулу радиуса и как применить ее в конкретных случаях для прямоугольного, равнобедренного и равностороннего треугольников.

Основы вписанных окружностей

Вписанной в треугольник называется окружность, которая полностью располагается внутри него и касается всех трех сторон. Точка касания делит каждую сторону пополам. У такой окружности есть несколько важных свойств.

• Центр вписанной окружности всегда находится в точке пересечения биссектрис треугольника.
• В любой треугольник можно вписать только одну окружность.
• Радиус вписанной окружности зависит от площади и периметра треугольника.

Дизайнеры интерьеров активно используют свойства вписанных окружностей при проектировании мебели и лестниц. В оптике радиус кривизны линзы тоже рассчитывают по аналогичным формулам.

Общая формула радиуса

Как находить радиус вписанной окружности в любом треугольнике? Используем формулу:

радиус вписанной окружности треугольника равен отношению площади треугольника к полупериметру

Где S - площадь треугольника, а p - полупериметр (сумма всех сторон, деленная на 2).

Площадь треугольника можно легко посчитать по формуле Герона, если известны длины всех трех сторон:

А полупериметр - это просто половина суммы этих сторон:

p = (a + b + c) / 2

Поэтому формула радиуса вписанной окружности сводится к простому отношению площади S к величине p. Запомните это правило - оно поможет всегда быстро найти радиус.

Пример расчета радиуса

Допустим, у нас есть треугольник со сторонами 5 см, 7 см и 8 см. Сначала находим полупериметр:

p = (5 + 7 + 8) / 2 = 10 см

Потом вычисляем площадь по формуле Герона:

S = 14 кв. см

Подставляем значения S и p в формулу радиуса:

r = S / p = 14 / 10 = 1,4 см

Для прямоугольного треугольника

Если один из углов треугольника равен 90 градусов, то радиус вписанной окружности можно посчитать еще проще, воспользовавшись теоремой Пифагора...

Знание точного радиуса вписанной окружности помогает решать множество задач на построение в геометрии. Формулу радиуса вписанной окружности впервые получил в 1637 году французский математик.

Для прямоугольного треугольника

Если один из углов треугольника равен 90 градусов, то радиус вписанной окружности можно посчитать еще проще, воспользовавшись теоремой Пифагора. Она гласит: квадрат гипотенузы (самого длинного катета в прямоугольном треугольнике) равен сумме квадратов двух других сторон - катетов.

Преобразуем эту формулу и получим:

c = √(a2 + b2)

А теперь подставим это выражение для гипотенузы в общую формулу радиуса. Итог: радиус вписанной окружности треугольника прямоугольного можно найти по такой формуле:

Пример расчета

Допустим, прямоугольный треугольник имеет катеты 3 см и 4 см. Сначала находим длину гипотенузы: c = √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5 см

Подставляем значения катетов и гипотенузы в формулу:

Итого радиус вписанной окружности = 1 см.

Для равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике две стороны (ножки) имеют одинаковую длину. А третья сторона называется основанием. Давайте находить радиус вписанной окружности для такого случая. Первые упоминания о свойствах вписанной окружности в треугольнике встречаются еще в трудах древнегреческого математика Евклида в 3 веке до нашей эры.

Для равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике две стороны (ножки) имеют одинаковую длину. А третья сторона называется основанием. Давайте выведем формулу радиуса вписанной окружности для такого случая.

Обозначим длину ножек через а, а длину основания через b. Тогда можно записать выражение для полупериметра:

А площадь равнобедренного треугольника вычисляется по формуле.

Подставляя эти выражения для S и p в общую формулу, получаем искомую формулу радиуса вписанной окружности для равнобедренного треугольника.

Применим на практике

Найдем радиус вписанной окружности в равнобедренном треугольнике с ножками по 5 см и основанием 7 см. Подставляя значения в формулу, получаем:

Ответ: 1,4 см.

В равностороннем (или правильном) треугольнике все 3 стороны равны. Обозначим длину стороны через а. Тогда можно упростить формулу радиуса.